Математика > Диференціал

Інваріантна форма запису диференціала. За означенням, для диференційованої в точці функції двох незалежних змінних

.

Покладемо, зокрема, (тобто ), одержимо Отже, . Аналогічно, поклавши , одержимо . Таким чином, диференціали незалежних змінних співпадають з приростом цих змінних, і ми можемо записати диференціал функції у вигляді

,

або, що те саме,

.

Нехай де і - складні функції незалежних змінних і . Допустимо, що функції і диференційовані в точці , а функція диференційована в точці , де , . Тоді складна функція буде диференційована в точці . При цьому, згідно з (6.58),

.

Застосувавши правила для обчислення частинних похідних

складної функції (формули 6.47), одержимо

Оскільки в дужках стоять повні диференціали функцій , , маємо:

.

Отже, і у випадку, коли та - незалежні змінні, і у випадку, коли та - незалежні змінні, диференціал функції можна записати у формі

.

У зв’язку з цим така форма запису повного диференціала називається інваріантною.

Форма запису повного диференціала

не буде інваріантною, вона може використовуватися лише, якщо і - незалежні змінні, оскільки у противному разі , .

6.7. Диференціювання параметрично заданих функцій

Означення. Задання функціональної залежності між і у вигляді двох функцій від тієї самої допоміжної змінної називається параметричним заданням функції. Допоміжна змінна при цьому називається параметром.

Виведемо формулу для похідної від функції, заданої параметрично. Припустимо, що функції, заданої параметрично. Припустимо, що функції і диференційовані в кожній точці інтервалу і для цих значень функція така, що похідна від неї не дорівнює нулю, .

Тоді для кожної функції існують диференціали , звідки

, (6.59)

або

.

Приклад. Знайти похідну від функції, яка задана параметрично, , .

Р о з в ’ я з о к. Знайдемо і :

,

;

.

6.8. Неявні функції, їх диференціювання

Розглянемо випадок неявної функції від однієї незалежної змінної . Нехай дано рівняння .

Припустимо, що це рівняння визначає єдину і при цьому диференційовану функцію аргументу . Для цього повинні виконуватись певні умови, доведення яких опускається.

Теорема. (теорема існування неявної функції). Нехай:

1) функція означена і неперервна разом із своїми частинними похідними та в деякому околі точки ;

2) в точці дорівнює нулю:

;

3) в точці відмінна від нуля: .

Тоді

1) в деякому прямокутнику

рівняння визначає як однозначну функцію від : ;

2) при ця функція набуває значення :

;

3) на інтервалі функція неперервна і має неперервну похідну.

Знайдемо цю похідну. Оскільки у вказаному інтервалі , то для будь-якої її точки або, що те саме, , де .

Обчислюючи повну похідну, маємо

,

звідки

. (6.61)

Приклад. Знайти похідну функції .

Р о з в ’ я з о к.

.

1	2	3	4

Назва: Диференціал
Дата публікації: 2005-03-03 (1611 прочитано)