Математика > Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)
де  - абсциса будь-якої точки в області існування розв’язку, а  - поки що невідома функція, яка залежить лише від  . Знайдемо похідну  , користуючись формулою (12.28):  (12.29)
Враховуючи, що  і користуючись умовою (12.26) для заміни підінтегральної функції, з (12.29) отримуємо  .
Отже,  або  .
Звідси  , або  , де  - довільна стала. Підставляючи знайдену функцію у вираз (12.28), отримаємо  .
Це дозволяє записати загальний розв’язок рівняння (12.25) (або те ж саме рівняння (12.27)) у вигляді:   - довільна стала.
Зауваження. На практиці зручніше продиференціювати рівність (12.28) за , потім замінити відомою функцією  , а далі – визначити  та  . Приклад . Розв’язати рівняння 
Р о з в ’ я з о к. Позначимо 
і переконаємося, що це – рівняння в повних диференціалах. Справді, частинні похідні  і  рівні між собою: 
Отже, умова (12.26) виконується. Для знаходження функції  про інтегруємо рівність  . Маємо  . Звідси визначимо похідну:  та прирівняємо її до відомої функції  :  .
Отже,  і,  , де - довільна стала. Функцію знайдено:  .
Загальний інтеграл рівняння має вигляд  . Розглянемо питання про можливість зведення рівняння виду (12.25), для якого не виконується умова (12.26), до рівняння в повних диференціалах. Домножимо обидві частини рівняння (12.25) на деяку функцію  таку, що рівняння  (12.30)
буде рівнянням у повних диференціалах. Згідно з доведеним для цього необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність, аналогічна рівності (12.26):  ,
або  .
Зведемо подібні члени  .
Поділивши обидві частини цього рівняння на  та врахувавши, що  , отримаємо  (12.31)
Це рівняння в частинних похідних відносно . Розв’язати його – це завдання не простіше, ніж інтегрування вихідного рівняння. Розглянемо два частинні випадки, коли рівняння (12.31) спрощується і його можна розв’язати. 1) Нехай шуканий інтегральний множник залежить лише від :  . Тоді  , і рівняння (12.31) набуває вигляду   (12.32)
Якщо права частина цього рівняння не залежить від  , то воно легко інтегрується. 2) Якщо інтегральний множник є функцією тільки від :  , то  , а  . Тоді рівняння (12.31) можна подати таким чином:  (12.33)
Якщо вираз справа залежить лише від , рівняння (12.33) інтегрується. Приклад 2. Розв’язати рівняння  . Зауважимо, що в розглянутому випадку  . Р о з в ’ я з о к. Знайшовши частинні похідні 
переконуємося, що умова (12.26) не виконується. Спробуємо підібрати інтегральний множник виду  . Рівняння (12.32) набуває вигляду  .
Вираз у правій частині останньої рівності залежить і від , і від . Отже, інтегрального множника вигляду  не існує. Припустимо, що  , і складемо рівняння (12.33):  .
Оскільки вираз у правій частині цієї рівності залежить від , рівняння інтегрується. Знайдемо один з його частинних розв’язків:  , звідки  . Перевіримо, чи множник  знайдено правильно. Для цього домножимо обидві частини вихідного рівняння на  та переконаємося, що коефіцієнти отриманого рівняння задовольнятимуть умові (12.26). Маємо
 .
Тоді 
і, отже, інтегральний множник було знайдено правильно (оскільки (12.26) – рівняння в повних диференціалах). Знайдемо функцію  . Оскільки  то  , або
 .
Продиференціюємо по та прирівняємо цю похідну до  :  .
Отже,  і  . Тоді  ,
і загальний інтеграл рівняння має вигляд 
Назва: Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)
Дата публікації: 2005-03-03 (1942 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
