ћатематика > «вТ¤зок м≥ж розвТ¤зками пр¤моњ ≥ двоњстоњ задач. √еометрична ≥нтерпретац≥¤ двоњстих задач

«вТ¤зок м≥ж розвТ¤зками пр¤моњ ≥ двоњстоњ задач. √еометрична ≥нтерпретац≥¤ двоњстих задач

–озгл¤немо к≥лька двоњстих задач, утворену основною задачею л≥н≥йного програмуванн¤ ≥ двоњстоњ до нењ.

¬их≥дною задачею Ї: найти максимум функц≥њ

(1)

при умовах

(2)

(3)

ƒвоњста задача: знайти м≥н≥мум функц≥њ

(4)

при умовах

(5)

 ожна з задач двоњстоњ пари (1) Ч (3) ≥ (4), (5) фактично Ї самост≥йною задачею л≥н≥йного програмуванн¤ ≥ може бути вир≥шена незалежно одна в≥д ≥ншоњ. ќднак при визначенн≥ симплексним методом оптимального плану одн≥Їњ з задач тим самим знаходитьс¤ р≥шенн¤ й ≥нша задача.

≤снуюч≥ залежност≥ м≥ж р≥шенн¤ми пр¤моњ ≥ двоњстоњ задач характеризуютьс¤ сформульованими нижче лемами ≥ теоремами подв≥йност≥.

Ћемма 1.1. якщо X Ч де¤кий план вих≥дноњ задач≥ (1) Ч (3), а ¬ Ч дов≥льний план двоњстоњ задач≥ (4), (5), те значенн¤ ц≥льовоњ функц≥њ вих≥дноњ задач≥ при план≥ X завжди не перевершуЇ значенн¤ ц≥льовоњ функц≥њ двоњстоњ задач≥ при план≥ Y, тобто F(X)F*(Y)

Ћемма 1.2. якщо F(X*) = F*(Y*) дл¤ де¤ких план≥в X* ≥ Y* задач (1) Ч (3) ≥ (4), (5), те X* Ч оптимальний план вих≥дноњ задач≥, a Y* Ч оптимальний план двоњстоњ задач≥

“еорема 1. (перша теорема подв≥йност≥) якщо одна з пари двоњстих задач (1) Ч (3) чи (4), (5) маЇ оптимальний план, те й ≥нша маЇ оптимальний план ≥ значенн¤ ц≥льових функц≥й задач при њхн≥х оптимальних планах р≥вн≥ м≥ж собою, тобто .

якщо ж ц≥льова функц≥¤ одн≥Їњ з пари двоњстих задач не обмежена (дл¤ вих≥дноњ (1) Ч (3) Чзверху, дл¤ двоњстоњ (4), (5) Ч знизу), то ≥нша задача взагал≥ не маЇ план≥в.

“еорема 2. (друга теорема подв≥йност≥). ѕлан задач≥ (1) Ч (3) ≥ план задач≥ (4), (5) Ї оптимальними планами цих задач тод≥ ≥ т≥льки тод≥, коли дл¤ будь-¤кого виконуЇтьс¤ р≥вн≥сть

√еометрична ≥нтерпретац≥¤ двоњстих задач. якщо число перем≥нних у пр¤м≥й ≥ двоњстоњ задачах, що утвор¤ть дану пару, дор≥внюЇ двом, то, використовуючи геометричну ≥нтерпретац≥ю задач≥ л≥н≥йного програмуванн¤, можна легко знайти р≥шенн¤ даноњ пари задач ѕри цьому маЇ м≥сце один з наступних трьох взаЇмно виключають один одного випадк≥в: 1) обидв≥ задач≥ мають плани; 2) плани маЇ т≥льки одна задача; 3) дл¤ кожноњ задач≥ двоњстоњ пари безл≥ч план≥в порожньо

1. ƒл¤ задач≥, що складаЇ у визначенн≥ максимального значенн¤ функц≥њ F = 2x1+7x2 при умовах

- 2 x1 + 3x214,

x1 + x2 8,

x1, x20,

скласти двоњсту задачу ≥ знайти р≥шенн¤ обох задач.

–≥шенн¤. ƒвоњстою задачею стосовно вих≥дного Ї задача, що складаЇтьс¤ у визначенн≥ м≥н≥мального значенн¤ функц≥њ F*=14y1 + 8y2 при умовах

- 2y1 + y2 2

3y1 + y2 7,

y1, y2 0.

як у вих≥дноњ, так ≥ в двоњст≥й задач≥ число нев≥домих дор≥внюЇ двом. ќтже, њхнЇ р≥шенн¤ можна знайти, використовуючи геометричну ≥нтерпретац≥ю задач≥ л≥н≥йного програмуванн¤ (рис. 1. ≥ 2.)

як видно з мал. 1., максимальне значенн¤ ц≥льова функц≥¤ вих≥дноњ задач≥ приймаЇ в крапц≥ ¬ ќтже, ’* = (2; 6) Ї оптимальним планом, при ¤кому Fmax= 46.

ћ≥н≥мальне значенн¤ ц≥льова функц≥¤ двоњстоњ задач≥ приймаЇ в крапц≥ ≈ (мал. 4.). ¬иходить, Y* = (1; 4) Ї оптимальним планом двоњстоњ задач≥, при ¤кому Fmin=46 “аким чином, значенн¤ ц≥льових функц≥й вих≥дноњ ≥ двоњстоњ задач при њхн≥х оптимальних планах р≥вн≥ м≥ж собою.

ќдночасно, ¤к видно з мал. 2., значенн¤ ц≥льовоњ функц≥њ двоњстоњ задач≥ при будь-¤кому њњ план≥ не менше 46. “аким чином, при будь-¤кому план≥ вих≥дноњ задач≥ значенн¤ ц≥льовоњ функц≥њ не перевершуЇ значенн¤ ц≥льовоњ функц≥њ двоњстоњ задач≥ при њњ дов≥льному план≥.

2. «найти р≥шенн¤ двоњстоњ пари задач.

¬их≥дна задача:

- 4x1 + 2x2 4,

x1 + x2 6,

x1, x2 0.

ƒвоњчна задача:

- 4y1 + y2 -2,

2y1 + y2 -3,

y1, y2 0.

–≥шенн¤. як вих≥дна, так ≥ двоњста задача м≥ст¤ть по двох перем≥нн≥. “ому њхнЇ р≥шенн¤ знаходимо, використовуючи геометричну ≥нтерпретац≥ю задач≥ л≥н≥йного програмуванн¤ (мал. 3. ≥ 4.). « мал. 3. видно, що вих≥дна задача не маЇ оптимального плану через необмежен≥сть знизу њњ ц≥льовоњ функц≥њ на безл≥ч≥ припустимих р≥шень.

« мал. 4. випливаЇ, що двоњста задача не маЇ план≥в, оск≥льки багатокутник р≥шень њњ порожн≥й. ÷е означаЇ, що ¤кщо вих≥дна задача двоњстоњ пари не маЇ оптимального плану через необмежен≥сть на безл≥ч≥ припустимих р≥шень њњ ц≥льовоњ функц≥њ, те двоњста задача також не маЇ план≥в.

ѕеребуванн¤ р≥шенн¤ двоњстих задач. –озгл¤немо пари двоњстих задач Ч основну задачу л≥н≥йного програмуванн¤ (1) Ч (3) ≥ двоњсту до нењ задачу (4), (5).

ѕрипустимо, що за допомогою симплексного методу знайдений оптимальний план X* задач≥ (1) Ч (3) ≥ цей план визначаЇтьс¤ базисом, утвореним векторами –i1, –i2,Е,Pim.

ѕозначимо через —6=(ci1,ci2,Е,cim) вектор-р¤док, складений з коеф≥ц≥Їнт≥в при нев≥домих у ц≥льов≥й функц≥њ (1) задач≥ (1) Ч (3), а через –-1Ч матрицю, зворотну матриц≥ –, складеноњ з компонент≥в вектор≥в –i1, –i2,...,–im базисa. “од≥ маЇ м≥сце наступне твердженн¤.

“еорема 3. якщо основна задача л≥н≥йного програмуванн¤ маЇ оптимальний план X*, тo Y* = —6–-1 Ї оптимальним планом двоњстоњ задач≥.

“аким чином, ¤кщо знайти симплексним методом оптимальний план задач≥ (1) Ч (3), те, використовуючи останню симплекс-таблицю, можна визначити —6 ≥ –-1 ≥ за допомогою сп≥вв≥дношенн¤ Y*=—6–-1 знайти оптимальний план двоњстоњ задач≥ (4), (5).

” тому випадку, коли серед вектор≥в –1, P2,Е,–n, складених з коеф≥ц≥Їнт≥в при нев≥домих у систем≥ р≥вн¤нь (2), маЇтьс¤ m одиничних, зазначену матрицю –-1 утвор¤ть числа перших m р¤дк≥в останньоњ симплекса-таблиц≥, що коштують у стовпц¤х даних вектор≥в “од≥ немаЇ необх≥дност≥ визначати оптимальний план двоњстоњ задач≥ множенн¤м C6 на –-1, оск≥льки компоненти цього плану зб≥гаютьс¤ з в≥дпов≥дними елементами (m+1)-й р¤дка стовпц≥в одиничних вектор≥в, ¤кщо даний коеф≥ц≥Їнт cj=0, ≥ дор≥внюють сум≥ в≥дпов≥дного елемента цього р¤дка ≥ cj ¤кщо cj 0.

—казане вище маЇ м≥сце ≥ дл¤ симетричноњ пари двоњстих задач ѕри цьому тому що система обмежень вих≥дноњ задач≥ м≥стить нер≥вност≥ виду Ђї, те компоненти оптимального плану двоњстоњ задач≥ зб≥гаютьс¤ з в≥дпов≥дними числами (m+1)-й р¤дка останньоњ симплекса-таблиц≥ р≥шенн¤ вих≥дноњ задач≥ «азначен≥ числа коштують у стовпц¤х вектор≥в, що в≥дпов≥дають додатковим перем≥нноњ

3. ƒл¤ задач≥, що складаЇ у визначенн≥ максимального значенн¤ функц≥њ F=x1 + 2x2-x2 при умовах

-x1 + 4x2 Ц 2x3 12,

x1 + x2 + 2x3 17,

1	2

Ќазва: «вТ¤зок м≥ж розвТ¤зками пр¤моњ ≥ двоњстоњ задач. √еометрична ≥нтерпретац≥¤ двоњстих задач
ƒата публ≥кац≥њ: 2005-03-03 (939 прочитано)