ћатематика > ≤нтегральне численн¤. Ќевизначений ≥нтеграл

≤нтегральне численн¤. Ќевизначений ≥нтеграл

ќзначенн¤: ‘ункц≥¤ F(x) називаЇтьс¤ перв≥сною дл¤ функц≥њ f(x) на пром≥жку ≤, ¤кщо на цьому пром≥жку F'(x) = f(x) або dF(x) = f(x)dx .

≤з означенн¤ виходить, що перв≥сна F(x) Ч диференц≥йовна, а значить неперервна функц≥¤ на пром≥жку ≤, ≥ њњ вигл¤д суттЇво залежить в≥д пром≥жка, на ¤кому вона розгл¤даЇтьс¤.

ѕриклад: ѕерв≥сн≥ дл¤ функц≥њ мають вигл¤д:

причому, F1(x), F2(x) Ч неперервн≥ R, a F3(x) у точц≥ х = 0 маЇ розрив (рис. 7.1). ” цьому приклад≥ перв≥сн≥ Fi(x) ≥ = 1,2,3, знайден≥ методом добору ≥з на≠ступною перев≥ркою, використовуючи таблицю пох≥дних функц≥й.

“еорема (про множину перв≥сних). якщо F(x) Ч перв≥сна дл¤ функц≥њ f(х) на пром≥жку I, то

1) F(x) + C Ч також перв≥сна дл¤ f(x) на пром≥жку I;

2) будь-¤ка перв≥сна ‘(х) дл¤ f(x) може бути представлена у вигл¤д≥ ‘(х) = F(x) + — на пром≥жку I. (“ут — = const називаЇтьс¤ дов≥льною сталою).

Ќасл≥док. ƒв≥ будь-¤к≥ перв≥сн≥ дл¤ одн≥Їњ й т≥Їњ самоњ функц≥њ на пром≥жку I в≥др≥зн¤ютьс¤ м≥ж собою на сталу величину (рис. 7.1).

ќзначенн¤: ќперац≥¤ знаходженн¤ перв≥сних дл¤ функц≥њ f(x) називаЇ≠тьс¤ ≥нтегруванн¤м f(x).

«адача ≥нтегруванн¤ функц≥њ на пром≥жку пол¤гаЇ у тому, щоб знайти вс≥ перв≥сн≥ функц≥њ на цьому пром≥жку, або довести, що функц≥¤ немаЇ перв≥сних на цьому пром≥жку.

ƒл¤ розв'¤занн¤ задач≥ ≥нтегруванн¤ функц≥њ достатньо знайти одну будь-¤ку перв≥сну на розгл¤дуваному пром≥жку, наприклад F(x), тод≥ (за теоремою про множину перв≥сних) F(x) + — Ч загальний вигл¤д вс≥Їњ мно≠жини перв≥сних на цьому пром≥жку.

ќзначенн¤: ‘ункц≥¤ F(x) + —, що ¤вл¤Ї собою загальний вигл¤д вс≥Їњ множини перв≥сних дл¤ функц≥њ f(х) на пром≥жку I, називаЇтьс¤ невизначеним ≥нтегралом в≥д функц≥њ f(x) на пром≥жку I ≥ позначаЇтьс¤

(7.1)

де Ч знак невизначеного ≥нтеграла;

f(x) Ч п≥д≥нтегральна функц≥¤;

f(x)dx Ч п≥д≥нтегральний вираз;

dx Ч диференц≥ал зм≥нноњ ≥нтегруванн¤.

√еометричний зм≥ст невизначеного ≥нтеграла пол¤гаЇ у тому, що функц≥¤ у= F(X) + — Ї р≥вн¤нн¤ однопараметричноњ с≥м'њ кривих, ¤к≥ одержуютьс¤ одна з другоњ шл¤хом паралельного переносу вздовж ос≥ ординат (рис. 7.2).

“еорема ( ош≥). ƒл¤ ≥снуванн¤ невизначеного ≥нтеграла дл¤ функц≥њ f(x) на певному пром≥жку достатньо, рис. 7.2 щоб f(x) була неперервною на цьому пром≥жку.

«ауваженн¤. ¬и¤вл¤Їтьс¤ Ї так≥ невизначен≥ ≥нтеграли в≥д елементарних функц≥й, ¤к≥ через елементарн≥ функц≥њ не виражаютьс¤, наприклад:

≥снують у кожному ≥з пром≥жк≥в област≥ визначенн¤, але записати њх через основн≥ елементарн≥ функц≥њ не можна; в такому розум≥нн≥ ц≥ ≥нтеграли називають Ђне≥нтегровнимиї.

a) ¬ластивост≥, що випливають ≥з означенн¤ (7.1):

≤. ѕох≥дна в≥д невизначеного ≥нтеграла дор≥внюЇ п≥д≥нтегральн≥й функц≥њ

II. ƒиференц≥ал в≥д невизначеного ≥нтеграла дор≥внюЇ п≥д≥нтегральному виразу.

≤≤≤.

б) ¬ластивост≥, що в≥дображають основн≥ правила ≥нтегруванн¤.

IV. —талий множник, що не дор≥внюЇ нулю, можна виносити з-п≥д знака ≥нтеграла, тобто

(7.2)

V. Ќевизначений ≥нтеграл в≥д суми функц≥й дор≥внюЇ сум≥ невизначених ≥нтеграл≥в в≥д цих функц≥й, ¤кщо вони ≥снують, тобто

(7.3)

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8.

9.

11.

13.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

÷ей метод базуЇтьс¤ на властивост≥ невизначеного ≥нтеграла (7.3). ћета методу Ч розкласти п≥д≥нтегральну функц≥ю на так≥ доданки, ≥нтеграли в≥д ¤ких в≥дом≥ або њх прост≥ше ≥нтегрувати, н≥ж початкову п≥д≥нтегральну функц≥ю.

ѕриклад.

“еорема. якщо функц≥њ и(х) та v(х) мають неперервн≥ пох≥дн≥, то:

(7.4)

Ќа практиц≥ функц≥њ u(x) та v(x) рекомендуЇтьс¤ вибирати за таким правилом:

Ч при ≥нтегруванн≥ частинами п≥д≥нтегральний вираз f(x)dx розбивають на два множники типу и Х dv, тобто f(x)dx = u-dv; при цьому функц≥¤ и(х) вибираЇтьс¤ такою, щоб при диференц≥юванн≥ вона спрощувалась, а за dv приймають залишок п≥д≥нтегрального виразу, ¤кий м≥стить dx, ≥нтеграл в≥д ¤кого в≥домий, або може бути просто знайдений.

ѕриклад.

≤нколи доводитьс¤ ≥нтегруванн¤ частинами застосовувати к≥лька раз≥в, що ≥люструЇ наступний приклад.

Ќижче наведен≥ де¤к≥ типи ≥нтеграл≥в, при ≥нтегруванн≥ ¤ких застосо≠вують метод ≥нтегруванн¤ частинами та показано виб≥р функц≥й и(х) та

де –(х) Ч многочлен, Q(x) Ч алгебрањчна функц≥¤, а R.

«вичайно, не сл≥д думати, що метод ≥нтегруванн¤ частинами обмежуЇ≠тьс¤ застосуванн¤м т≥льки до ≥нтеграл≥в типу (7.5).

¬ де¤ких випадках, п≥сл¤ ≥нтегруванн¤ частинами ≥нтеграла одержуЇть≠с¤ р≥вн¤нн¤, ≥з ¤кого знаход¤ть шуканий ≥нтеграл.

ѕриклад.

ќтже, одержали р≥вн¤нн¤ G = eх(cosx + sinx)-G, ≥з ¤кого знаходимо

ћета методу п≥дстановки Ч перетворити даний ≥нтеграл до такого вигл¤ду, ¤кий прост≥ше ≥нтегрувати.

“еорема. якщоf(x) Ч неперервна, а х = (t) маЇ неперервну пох≥дну, то:

(7.6)

Ќасл≥док,

(7.7)

«ауваженн¤. —пециф≥ка ≥нтегруванн¤ невизначеного ≥нтеграла не зале≠жить в≥д того чи зм≥нна ≥нтегруванн¤ Ї незалежною зм≥нною, чи сама Ї функц≥Їю (на п≥дстав≥ ≥нвар≥антност≥ форми запису першого диференц≥а≠лу), тому, наприклад:

¬ такому розум≥нн≥ сл≥д розгл¤дати ≥ всю таблицю ≥нтеграл≥в.

ѕриклад.

¬ар≥ант зам≥ни зм≥нноњ ≥нтегруванн¤ (x) = t (7.7) зручний тод≥, коли п≥д≥нтегральний вираз можна розкласти на два множники: f ((x)) та Т(x)dx.

ѕриклад.

ƒл¤ де¤ких клас≥в п≥д≥нтегральних функц≥й розроблен≥ стандартн≥ зам≥≠ни. ¬иб≥р зручноњ п≥дстановки визначаЇтьс¤ знанн¤м стандартних п≥дстано≠вок та досв≥дом.

ѕри безпосередньому ≥нтегруванн≥ використовуЇтьс¤ формула (7.7) вар≥анту зам≥ни зм≥нноњ, але саму зам≥ну не записують (њњ робл¤ть усно) при цьому використовують операц≥ю внесенн¤ функц≥њ п≥д знак диференц≥ала. ќтже, ¤кщо , то:

«окрема, коли (х) Ї л≥н≥йною функц≥Їю, тобто (x)=ax+b , будемо мати:

1	2

Ќазва: ≤нтегральне численн¤. Ќевизначений ≥нтеграл
ƒата публ≥кац≥њ: 2005-03-03 (866 прочитано)