Математика > Інтегрування і пониження порядку деяких диференціальних рівнянь з вищими похідними

Інтегрування і пониження порядку деяких диференціальних рівнянь з вищими похідними

ДР що містять n-ту похідну від шуканої функції і незалежну змінну.

а) Розглянемо ДР (4.38)

Так як , то

Аналогічно , …..,

(4.39)

Остання формула дає розвязок загальний в області

Формулу (4.39) легко використати для знаходження розвязків задачі Коші з начальними умовами

(4.40)

Цей розвязок представляється в вігляді (4.41)

Ф-я

являється частиним розвязком ДР (4.38) з початковими умовами

яким відповідають константи

Для обчислення використовують ф-лу Коші

(4.42)

Дійсно інтеграл

можна розглядати як повторний інтеграл в заштрихованій області (мал. 1).

Міняючи порядок інтегрування, отримаємо

Аналогічно обчислюємо

.. і. т. д.

Приходимо до ф-ли (4.42)

Таким чином розвязок (4.41) записується у вигляді

Загальний розвязок ДР (4.38) можна також записати через невизначений інтеграл

Пр. 4.4 Розвязати рівняння

Послідовно знаходимо ,

б) Розглянемо випадок (4.43)

в якому співвіднощення (4.43) не можна розвязати відносно в елементарних ф-ях, або вирази для будуть досить складними.

Припустимо, що ДР (4.43) допускає параметризацію (4.44)

(4.44),

де та такі, що

Проводимо обчислення ,

Аналогічно обчислюємо

Остаточно маємо

(4.45) -загальний зорвязок в параметричній формі.

Відмітимо два випадки, в яких ДР (4.43) легко параметрмзується

I.(4.46)(частинні випадки )

II. (4.47), де і -однорідні ф-ї відповідного

виміру і .

Покладемо (4.48)

і розвяжемо р-ня (4.47) відносно через :

Піставляючи в (4.48), отримаємо (4.49)

Дальше вищеотриманим способом знаходимо загальний розвязок в параметричній формі.

Пр. 4.5 Розвязати р-ня

Зробимо заміну

остаточно маємо

Інтегрування ДР, які не містять шуканої ф-ї та похідної.

Розглянемо ДР (4.50), в якому є .

Введемо нову змінну (4.51)

отримаємо (4.52)

тобто ми понизили порядок ДР (4.50) на одиниць.

Припустимо, що ми розвязали ДР (4.52) і визначили (4.53)

Тоді р-ня (4.54)

інтегруємо і отримаємо загальний розвязок (4.55)

Якщо замість загального розвязку (4.53) можна знайти загальний інтеграл (4.54)

то отримаємо ДР типу (4.43)

Розглянемо два частичних випадка відносно ДР (4.50) :

а) ДР вигляду

якщо ДР (4.51) можна розвязати відносно :

(4.52)

то поклавши перейдемо до р-ня

Якщо - загальний розвязок останнього р-ня, то остотаточно маємо р-ня вигляду (4.38)

Припустимо, що ДР (4.51) не можна записати в вигляді (4.52), але воно допускає параметризацію (4.53)

то з співвідношення знаходимо

Звідки (4.54)

ДР (4.54) вигляду (4.44) і розвязки можна отримати в параметричній формі.

б) ДР вигляду (4.55)

Нехай ДР (4.55) можно розвязати відносно

(4.56)

Позначимо і перейдемо до ДР (4.57)

Домножимо (4.57) на :

Звідки . Отже

з якого визначимо

.

Останнє ДР є р-ням з відокремлюваними змінними.

Знайшовши з нього

ми остаточно переходимо до ДР вигляду (4.38).

(4.58)

Припустимо, що ДР (4.55) не можна розвязати відносно але для нього можлива параметризація

Запишемо співвідношення

Домножимо першу рівність на :

1	2

Назва: Інтегрування і пониження порядку деяких диференціальних рівнянь з вищими похідними
Дата публікації: 2005-03-03 (429 прочитано)