ћатематика > ≤нтегруванн¤ ≥ррац≥ональних вираз≥в

≤нтегруванн¤ ≥ррац≥ональних вираз≥в

ѕлан

≤нтегруванн¤ де¤ких ≥ррац≥ональних функц≥й

≤нтеграли в≥д вираз≥в

ѕ≥дстановки „ебишева

1. ≤нтегруванн¤ де¤ких ≥ррац≥ональних функц≥й

” цьому пункт≥ рац≥ональн≥ функц≥њ одн≥Їњ зм≥нноњ, наприклад , двох зм≥нних, наприклад ≥ , трьох зм≥нних дал≥ позначатимемо так:

≤стинними Ї так≥ твердженн¤:

а) ”с≥ функц≥њ, що можуть бути зведен≥ до вигл¤ду де ц≥ле число, дов≥льн≥ д≥йсн≥ числа, ≥нтегруютьс¤ в замкненому вигл¤д≥ (тут вз¤то за , а роль в≥д≥граЇ ). ƒоведенн¤ пропонуЇтьс¤ зд≥йснити самост≥йно, скориставшись п≥дстановкою . ѕропонуЇтьс¤ також, ¤к приклад, про≥нтегрувати функц≥ю .

б) ”с≥ функц≥њ, що можуть бути зведен≥ до вигл¤ду , ¤кщо , ≥нтегруютьс¤ в замкненому вигл¤д≥ за допомогою зам≥ни зм≥нноњ . ѕропонуЇтьс¤ самост≥йно переконатис¤ в цьому, а також розгл¤нути випадок .

–екомендуЇтьс¤ практично переконатис¤ в цьому на приклад≥

≥нтегруванн¤ функц≥њ .

в) ≤нтеграл зводитьс¤ до ≥нтеграла в≥д рац≥ональноњ функц≥њ за допомогою п≥дстановки де

сп≥льний знаменник дроб≥в

г) ≤нтеграл зводитьс¤ до ≥нтеграла в≥д рац≥ональноњ функц≥њ за допомогою п≥дстановки

де сп≥льний знаменник дроб≥в

д) ”с≥ функц≥њ, що можуть бути зведен≥ до вигл¤ду , ≥нтегруютьс¤ в замкненому вигл¤д≥. –озгл¤немо тут можлив≥ випадки за умови, звичайно, що .

«а допомогою п≥дстановок (њх уперше застосував Ћ.≈йлер)

(8.25)

заданий ≥нтеграл зводитьс¤ до ≥нтеграла в≥д рац≥онального дробу, а це означаЇ , що заданий ≥нтеграл подаЇтьс¤ через елементарн≥ функц≥њ, тобто ≥нтегруЇтьс¤ в замкненому вигл¤д≥.

ѕропонуЇтьс¤ довести це твердженн¤ ≥ про≥люструвати таку можлив≥сть на прикладах:

÷ього самого типу ≥нтеграли можна про≥нтегрувати й ≥накше.

ћаЇмо . якщо то останн≥й вираз матиме вигл¤д де . якщо тепер зд≥йснити зам≥ну зм≥нноњ (у випадку верхнього знака) або (у випадку нижнього знака) , то заданий ≥нтеграл зведетьс¤ до ≥нтеграла в≥д рац≥ональноњ функц≥њ в≥дносно ≥ . ѕри .

якщо , матимемо тобто одержимо функц≥ю в≥д комплексноњ зм≥нноњ, ¤ка тут не розгл¤даЇтьс¤. якщо при , то , тобто п≥дстановка (або ) зведе заданий ≥нтеграл до ≥нтеграла в≥д рац≥ональноњ функц≥њ в≥дносно ≥,

де .ќтже, в ус≥х випадках, за ¤ких , ≥нтеграл зводитьс¤ до ≥нтеграла вигл¤ду , ¤кий детально розгл¤датимемо дал≥.

е) ”с≥ функц≥њ вигл¤ду ≥нтегруютьс¤ у замкненому вигл¤д≥ за допомогою зам≥ни зм≥нноњ ≥ звод¤тьс¤ до ≥нтеграла з , ¤кий розгл¤нуто в попередньому пункт≥. ѕропонуЇтьс¤ цей факт довести самост≥йно ≥, ¤к приклад, про≥нтегрувати функц≥ю

.

Ї) ≤нтеграл в≥д б≥ном≥ального диференц≥ала обчислюютьс¤ за допомогою одн≥Їњ ≥з п≥дстановок:

1. якщо ц≥ле, то де сп≥льний знаменник дроб≥в ≥

2. якщо ц≥ле, де знаменник

3. якщо ц≥ле, то де знаменник

–ос≥йським математиком ѕ. Ћ. „ебишевим доведено, що ≥нших випадк≥в ≥нтегровност≥ в замкненому вигл¤д≥ б≥ном≥альних диференц≥ал≥в не ≥снуЇ. ÷≥ три п≥дстановки називають п≥дстановками „ебишева.

1

Ќазва: ≤нтегруванн¤ ≥ррац≥ональних вираз≥в
ƒата публ≥кац≥њ: 2005-03-03 (335 прочитано)