ћатематика > ≤нтерпол¤ц≥¤

≤нтерпол¤ц≥¤

ѕлан

≤нтерпол¤ц≥¤

≤нтерпол¤ц≥йна формула Ћагранжа

≤нтерпол¤ц≥йна формула Ќьютона

13.16. ≤нтерполюванн¤ функц≥й

Ќехай в≥дом≥ числов≥ значенн¤ де¤коњ величини , ¤к≥ в≥дпов≥дають числовим значенн¤м величини /вузли ≥нтерполюванн¤ /. ¬важаючи функц≥Їю в≥д , складемо таблицю ≥з цих чисел:

“ак≥ таблиц≥ виникають на практиц≥ в результат≥ досл≥д≥в, ¤к≥ провод¤тьс¤ над величиною ; але њх складають ≥ дл¤ анал≥тично заданих функц≥й : таблиц≥ квадрат≥в та куб≥в чисел, таблиц≥ логарифм≥в, таблиц≥ тригонометричних функц≥й ≥ т.п.

„асто виникаЇ потреба в ущ≥льненн≥ таблиць, тобто в обчисленн≥ пром≥жних значень , в≥дсутн≥х в таблиц≥, задовольнившись при цьому лише на¤вним запасом табличних значень ц≥Їњ величини . “акож буваЇ потр≥бним знайти на баз≥ таблиц≥ анал≥тичний вираз де¤коњ функц≥њ , ¤ка набувала б табличних значень за табличних значень . «вичайно, за беруть многочлен степен¤ , що маЇ таку властив≥сть (≥нтерполюючий многочлен).

ќзнайомимос¤ з де¤кими методами ≥нтерполюванн¤.

13.16.1. ≤нтерпол¤ц≥йна формула Ћагранжа

≤нтерпол¤ц≥йний многочлен запишемо у вигл¤д≥:

ƒл¤ знаходженн¤ невизначених коеф≥ц≥Їнт≥в будемо покладати в ц≥й р≥вност≥ по черз≥ вимагаючи при цьому, щоб

“од≥ одержуЇмо

ѕ≥дставивши знайден≥ значенн¤ коеф≥ц≥Їнт≥в у вираз ≥нтерпол¤ц≥йного многочлена, одержимо ≥нтерпол¤ц≥йну формулу Ћагранжа:

ѕоклавши в цю формулу , що дор≥внюЇ потр≥бному нам пром≥жному (нетабличному) значенню, одержуЇмо в≥дпов≥дне пром≥жне (нетабличне) значенн¤ . «а табличних значень маЇмо в≥дпов≥дн≥ табличн≥ значенн¤ .

13.16.2. ≤нтерпол¤ц≥йна формула Ќьютона

” випадку, коли вузли ≥нтерполюванн¤ утворюють арифметичну прогрес≥ю (р≥внов≥ддален≥)

( - крок ≥нтерполюванн¤), користуютьс¤ ≥нтерпол¤ц≥йною формулою, ¤ка використовуЇ ск≥нченн≥ р≥зниц≥ функц≥њ .

—к≥нченою р≥зницею першого пор¤дку величини називаЇтьс¤ р≥зниц¤ м≥ж двома посл≥довними њњ табличними значенн¤ми:

—к≥нченою р≥зницею другого пор¤дку величини називаЇтьс¤ р≥зниц¤ м≥ж двома посл≥довними р≥зниц¤ми першого пор¤дку:

јналог≥чно визначаютьс¤ ≥ ск≥нченн≥ р≥зниц≥ вищих пор¤дк≥в.

≤з означень одержуЇмо:

ћожна показати методом математичноњ ≥ндукц≥њ, що ≥ в загальному випадку коеф≥ц≥Їнти виразу Ї б≥ном≥альними, а весь вираз нагадуЇ розгорнутий -ий степ≥нь суми. “ому

” ц≥й формул≥ Ї номер табличного значенн¤ , або ≥накше - число крок≥в , ¤к≥ в≥дд≥л¤ють табличне значенн¤ в≥д , тобто

якщо будемо обчислювати нетабличне значенн¤ , що в≥дпов≥даЇ нетабличному значенню , ≥ збережемо вигл¤д правоњ частини р≥вност≥ дл¤ , то величина буде такою самою функц≥Їю в≥д , ¤кою функц≥Їю в≥д ран≥ше було ( за вс≥х табличних переходить в ).

«ам≥нивши на , одержуЇмо ≥нтерпол¤ц≥йну формулу Ќьютона:

” розгорнутому вигл¤д≥ Ї многочлен степен¤ в≥дносно . «а вс≥х табличних значень аргументу дор≥внюЇ в≥дпов≥дному табличному значенню функц≥њ , тобто .

«ауваженн¤. якщо функц≥¤ л≥н≥йна або ¤кщо розм≥щенн¤ на координатн≥й площин≥ точок наближено нагадуЇ пр¤му л≥н≥ю , то дл¤ одержанн¤ пром≥жних (нетабличних ) значень не маЇ необх≥дност≥ в ≥нтерпол¤ц≥йних формулах, побудованих на баз≥ ус≥Їњ таблиц≥. ƒостатньо використати лише два ближчих вузли ≥нтерполюванн¤. Ќехай ≥ потр≥бно знайти , знаючи в≥дпов≥дн≥ табличн≥ значенн¤ та . ≤з р≥вн¤нн¤ пр¤моњ

одержимо

÷ю формулу називають формулою л≥н≥йного ≥нтерполюванн¤. Ќею часто користуютьс¤ у випадках, коли вузли ≥нтерполюванн¤ близьк≥ один до одного.

ќдержимо формули диференц≥юванн¤ функц≥њ, заданоњ таблицею, у випадку р≥внов≥ддалених вузл≥в ≥нтерполюванн¤.

1	2

Ќазва: ≤нтерпол¤ц≥¤
ƒата публ≥кац≥њ: 2005-03-03 (996 прочитано)