ћатематика > Ќевласн≥ ≥нтеграли з безмежними границ¤ми та з необмеженою п≥д≥нтегральною функц≥Їю

Ќевласн≥ ≥нтеграли з безмежними границ¤ми та з необмеженою п≥д≥нтегральною функц≥Їю

«г≥дно з теоремою ≥снуванн¤ визначеного ≥нтеграла цей ≥нте≠грал ≥снуЇ, ¤кщо виконан≥ умови:

1) в≥др≥зок ≥нтегруванн¤ [а, b] ск≥нчений;

2) п≥д≥нтегральна функц≥¤ f(x) неперервна або обмежена ≥ маЇ ск≥нченну к≥льк≥сть точок розриву. якщо хоч би одна ≥з умов не виконуЇтьс¤, то визначений ≥нтеграл називають невласним.

якщо не виконуЇтьс¤ перша умова, тобто b = ∞ або а = ∞ або а = -∞ та b = ∞, то ≥нтеграли називають невласними ≥нтегралами з неск≥нченними межами.

якщо не виконуЇтьс¤ лише друга умова, то п≥д≥нтегральна функц≥¤ f(x) маЇ точки розриву другого роду на в≥др≥зку ≥нтегруванн¤ [а, b]. ¬ цьому випадку називають невласним ≥нтегралом в≥д розривноњ функц≥њ або в≥д функц≥њ, необмеженоњ в точках в≥др≥зку ≥нтегруванн¤.

1. Ќевласн≥ ≥нтеграли з неск≥нченними межами ≥нтегруванн¤ (невласн≥ ≥нтеграли першого роду).

Ќехай функц≥¤ f(х) визначена на пром≥жку [a; +∞) ≥ ≥нтегрована на будь-¤кому в≥др≥зку [а, b], де Ч ∞ < a < b < +∞. “од≥, ¤кщо ≥снуЇ ск≥нченна границ¤

(51)

њњ називають невласним ≥нтегралом першого роду ≥ позначають так:

(52)

“аким чином, за означенн¤м

(53)

” цьому випадку ≥нтеграл (52) називають зб≥жним, а п≥д≥нтегральну функц≥ю f(x) Ч ≥нтегровною на пром≥жку [а; +∞).

якщо ж границ¤ (51) не ≥снуЇ або неск≥нченна, то ≥нтеграл (52) називаЇтьс¤ також невласним, але розб≥жним, а функц≥¤ f(х) Ч не≥нтегровною на [a; +∞).

јналог≥чно ≥нтегралу (53) означаЇтьс¤ невласний ≥нтеграл на пром≥жку (-∞; b]:

(54)

Ќевласний ≥нтеграл з двома неск≥нченними межами визначаЇтьс¤ р≥вн≥стю

(55)

де с Ч дов≥льне д≥йсне число. ќтже, ≥нтеграл зл≥ва у формул≥ (55) ≥снуЇ або Ї зб≥жним лише тод≥, коли Ї зб≥жними обидва ≥нтеграли справа. ћожна довести, що ≥нтеграл, визначений формулою (55), не залежить в≥д вибору числа с.

« наведених означень видно, що не≠власний ≥нтеграл не Ї границею ≥нтегра≠льних сум, а Ї границею означеного ≥н≠теграла ≥з зм≥нною межею ≥нтегруванн¤.

«ауважимо, що коли функц≥¤ f(x) неперервна ≥ нев≥д'Їмна на пром≥жку [а; +∞) ≥ коли ≥нтеграл (53) зб≥гаЇтьс¤, то природно вважати, що в≥н виражаЇ площу необмеженоњ област≥ (рис. 7.12).

рис. 7.12

ѕриклад.

ќбчислити невласний ≥нтеграл або встановити його розб≥жн≥сть:

а) б)

в) д)

а) «а формулою (53) маЇмо

ќтже ≥нтеграл а) зб≥гаЇтьс¤.

б)

ќск≥льки ц¤ границ¤ не ≥снуЇ при а → -∞, то ≥нтеграл б) розб≥жний.

в)

ќтже ≥нтеграл в) розб≥жний,

г) якщо = 1, то

якщо ≠ 1, то

ќтже ≥нтеграл г) Ї зб≥жним при > 1 ≥ розб≥жним при ≤ 1.

” розгл¤нутих прикладах обчисленн¤ невласного ≥нтеграла грунтувалос¤ на його означенн≥. ѕроте у де¤ких випадках немаЇ необх≥дност≥ обчислювати ≥нтеграл, а достатньо знати, зб≥жний в≥н чи н≥. Ќаводимо без доведенн¤ де¤к≥ ознаки зб≥жност≥.

“еорема 1. якщо на пром≥жку [а; +∞) функц≥њ f(x) ≥ g(x) неперервн≥ ≥ задовольн¤ють умову 0 ≤ f(x) ≤ g(x), то ≥з зб≥жност≥ ≥нтеграла

(56)

випливаЇ зб≥жн≥сть ≥нтеграла

(57)

а ≥з розб≥жност≥ ≥нтеграла (57) випливав розб≥жн≥сть ≥нтеграла (56).

Ќаведена теорема маЇ простий геометричний зм≥ст (рис. 7.13); ¤кщо площа б≥льшоњ за розм≥рами необмеженоњ област≥ Ї ск≥нченне число, то площа меншоњ област≥ Ї також ск≥нченне число; ¤кщо пло≠ща меншоњ област≥ неск≥нченно велика величина, то площа б≥льшоњ област≥ Ї також неск≥нченно велика величина.

ѕриклад

ƒосл≥дити на зб≥жн≥сть ≥нтеграли:

а) ;

а) ќск≥льки :

≥ ≥нтеграл зб≥гаЇтьс¤, то за теоремою ≥ заданий ≥нтеграл також зб≥гаЇтьс¤.

б) ÷ей ≥нтеграл розб≥гаЇтьс¤, бо :

≥ ≥нтеграл розб≥гаЇтьс¤.

“еорема 2. якщо ≥снуЇ границ¤

, ,

то ≥нтеграли (56) ≥ (57) або одночасно обидва зб≥гаютьс¤, або одно≠часно розб≥гаютьс¤.

÷¤ ознака ≥нод≥ ви¤вл¤Їтьс¤ зручн≥шою, н≥ж теорема 1, бо не потребуЇ перев≥рки нер≥вност≥ 0 £ f(x) ≤ g(х).

ѕриклад

ƒосл≥дити на зб≥жн≥сть ≥нтеграл

ќск≥льки ≥нтеграл зб≥гаЇтьс¤ ≥

то заданий ≥нтеграл також зб≥гаЇтьс¤.

¬ теоремах 1 ≥ 2 розгл¤дались невласн≥ ≥нтеграли в≥д нев≥д'Їм≠них функц≥й. ” випадку, коли п≥д≥нтегральна функц≥¤ Ї знакозм≥нною, справедлива така теорема.

“еорема 3. якщо ≥нтеграл зб≥гаЇтьс¤, то зб≥гаЇтьс¤ й ≥нтеграл .

ѕриклад

ƒосл≥дити на зб≥жн≥сть ≥нтеграл .

“ут п≥д≥нтегральна функц≥¤ знакозм≥нна. ќск≥льки

то заданий ≥нтеграл зб≥гаЇтьс¤.

—л≥д зауважити, що ≥з зб≥жност≥ ≥нтеграла не випливаЇ, взагал≥ кажучи, зб≥жн≥сть ≥нтеграла . ÷¤ обставина виправдовуЇ так≥ означенн¤.

якщо разом з ≥нтегралом зб≥гаЇтьс¤ й ≥нтеграл , то ≥нтеграл називають абсолютно зб≥жним, а функц≥ю f(x) Ч абсолютно ≥нтегровною на пром≥жку [а; +∞).

якщо ≥нтеграл зб≥гаЇтьс¤, а ≥нтеграл розб≥гаЇтьс¤, то ≥нтеграл називають умовно (або неабсолютно) зб≥жним.

“епер теорему 3 можна перефразувати так: абсолютно зб≥жний ≥нтеграл зб≥гаЇтьс¤ .

ќтже, дл¤ знакозм≥нноњ функц≥њ викладен≥ тут м≥ркуванн¤ дають змогу встановити лише абсолютну зб≥жн≥сть ≥нтеграла. якщо ж невласний ≥нтеграл зб≥гаЇтьс¤ умовно, то застосовують б≥льш глибок≥ ознаки зб≥жност≥ [II].

ѕриклад

ƒосл≥дити на зб≥жн≥сть ≥нтеграл

ќск≥льки

то за теоремою 3 ≥нтеграл зб≥гаЇтьс¤.

ќтже, зб≥гаЇтьс¤, причому абсолютно, ≥ заданий ≥нтеграл, а функц≥¤ f(x) = на пром≥жку [0; +∞) Ї абсолютно ≥нтегровною.

2. Ќевласн≥ ≥нтеграли в≥д необмежених функц≥й (невласн≥ ≥нтеграли другого роду).

Ќехай функц≥¤ f(x) визначена на про≠м≥жку [а, b). “очку х = b назвемо особливою точкою функц≥њ f(х), ¤кщо f(x) → ∞ при х → b - 0 (рис. 7.14). Ќехай функц≥¤ f(x) ≥нтегровна на в≥др≥зку [а; b Ч ] при дов≥льному > 0 такому, що b - > ; тод≥, ¤кщо ≥снуЇ ск≥нченна границ¤

1	2

Ќазва: Ќевласн≥ ≥нтеграли з безмежними границ¤ми та з необмеженою п≥д≥нтегральною функц≥Їю
ƒата публ≥кац≥њ: 2005-03-03 (724 прочитано)