Математика > Неперервність функції в точці і в області.Дії над неперервними функціями

Враховуючи можливість поширення доведеного твердження на будь-яке (означене) число накладання функціональних залежностей, можна сформулювати теорему.

Теорема. Якщо накладання будь-якого (означеного) числа неперервних функціональних залежностей приводить до складної функції, то вона буде неперервною функцією основного аргументу.

Сформулюємо теорему, яка дає достатні умови існування та неперервності оберненої функції.

Теорема. Якщо функція визначена на відрізку і є на цьому відрізку неперервною і зростаючою (спадною), то для цієї функції на відрізку існує обернена функція , яка на відрізку є також неперервною і зростаючою (спадною).

Неперервність основних елементарних функцій.

Користуючись означенням неперервності функцій, покажемо, наприклад, що функція неперервна в кожній точці числової осі.

Візьмемо довільну точку . Тоді для будь-якого числа повинно існувати таке число , що нерівність

виконується для всіх , що задовольнять нерівності .

Покажемо, що таке число існує. Для цього ліву частину нерівності запишемо у вигляді

Таким чином, для того щоб виконувалася нерівність

,

достатньо, щоб .

Поклавши , впевнюємося, що з нерівності випливає нерівність . Це й доводить неперервність функції у довільній точці числової осі.

Аналогічно розглядаючи кожну елементарну функцію, можна було б довести теорему .

Теорема. Кожна елементарна функція неперервна в кожній точці, в якій вона означена.

Класифікація розривів неперервності функції.

Означення. Точка називається точкою згущення множини , якщо в кожному її колі знаходиться хоча б одна точка, відмінна від .

Точка згущення може і належати області , але може і не належати їй. Очевидно, що всі внутрішні точки множини є точками згущення і при цьому належать . Граничні точки можуть бути точками згущення , а можуть і не бути (їх тоді називають ізольованими).

Означення. Кожна точка згущення області означення функції , що не є точкою неперервності, називається точкою розриву цієї функції.

Означення. Лінія площини аргументів , всі точки якої є точками розриву функції , називається лінією розриву цієї функції.

Приклади.

1. Початок координат є точкою розриву функції

.

Справді, областю існування є вся площина , крім точки . Точка є точкою згущення цієї області, але не є точкою неперервності , оскільки не має числового значення в точці ; крім того, функція не має границі при (довести).

2. Функція задана формулою

.

Областю існування є вся площина , крім параболи . Всі точки цієї параболи є точками розриву , оскільки кожна з них є точкою згущення , але не належить , тому не має числового значення в кожній такій точці; крім того, має нескінченну границю при прямуванні точки до будь-якої точки цієї параболи. Тому парабола є лінія розриву функції .

Зупинимось на функції , яка визначена на відрізку . В точках і можна ставити питання про односторонню неперервність, а саме, в точці можна ставити питання про неперервність справа, а в точці - зліва. Тому природно постає питання про введення таких понять, як неперервність функції зліва і справа.

Означення. Функція називається неперервною в точці зліва (справа), якщо виконуються умови:

1) визначена в точці (існує число );

2) в точці існує лівостороння (правостороння) границя функції;

3) лівостороння (правостороння) границя функції дорівнює значенню функції в точці , або

,

.

Очевидно, коли функція неперервна в точці, то вона в цій точці є неперервна і зліва, і справа. Має місце така теорема.

Теорема. Для того, щоб функція була неперервна в даній точці, необхідно і достатньо, щоб вона була в цій точці неперервна справа і зліва.

Нехай функція визначена в усіх точках деякого проміжку , крім, можливо, внутрішньої точки .

Означення. Якщо функція в точці не є неперервною, то точка називається точкою розриву функції , а саме функція при цьому називається розривною в точці .

1	2	3	4

Назва: Неперервність функції в точці і в області.Дії над неперервними функціями
Дата публікації: 2005-03-03 (1041 прочитано)