ћатематика > ѕерв≥сна функц≥¤ ≥ неозначений ≥нтеграл. ќсновн≥ властивост≥ неозначеного ≥нтеграла.“аблиц¤ основних ≥нтеграл≥в

ѕерв≥сна функц≥¤ ≥ неозначений ≥нтеграл. ќсновн≥ властивост≥ неозначеного ≥нтеграла.“аблиц¤ основних ≥нтеграл≥в

ѕлан

ѕерв≥сна функц≥¤

Ќеозначений ≥нтеграл

ќсновн≥ властивост≥ неозначеного ≥нтеграла

“аблиц¤ основних ≥нтеграл≥в

“≥льки допустивши неск≥нченно малу (величину)

дл¤ спостереженн¤ Ц диференц≥ал ≥стор≥њ,

тобто однор≥дн≥ захопленн¤ людей, ≥ дос¤гнувши

мистецтва ≥нтегруванн¤ (брати суми цих неск≥нченно

малих ), ми зможемо над≥¤тись на п≥знанн¤ закон≥в ≥стор≥њ .

ќ. ћ. “олстой

1. Ќеозначений ≥нтеграл

«а допомогою диференц≥ального численн¤ вивчають локальн≥ властивост≥ функц≥њ одн≥Їњ або к≥лькох зм≥нних тобто властивост≥ ¤к завгодно малого околу точки, ¤ка належить граф≥ку функц≥њ одн≥Їњ зм≥нноњ, або поверхн≥, що описуЇтьс¤ функц≥Їю двох зм≥нних , або г≥перповерхн≥, що описуЇтьс¤ функц≥Їю багатьох зм≥нних . ƒл¤ таких властивостей в≥днос¤ть пон¤тт¤ зростанн¤ ≥ спаданн¤ функц≥њ в точц≥, екстремум≥в, областей опуклост≥ та вгнутост≥, точок перегину, характеристики функц≥њ в окол≥ точок розриву, повед≥нки на неск≥нченност≥ .

ќсновним пон¤тт¤м диференц≥ального численн¤ були пох≥дна та диференц≥ал, ¤к≥ виникли з граничних переход≥в у раз≥ пр¤муванн¤ прирост≥в незалежних зм≥нних до нул¤ ( пр¤муванн¤ точок, що належать геометричному обТЇкту, описуваному функц≥Їю, до заданоњ конкретноњ точки ).

јле так≥ пон¤тт¤ ¤к довжина дуги, площа област≥, обмеженоњ замкненою плоскою кривою, обТЇм област≥, обмеженоњ замкненою поверхнею, статичн≥ моменти т≥ла, центр його ваги, момент ≥нерц≥њ, робота сили, внутр≥шн¤ енерг≥¤ газу, атмосферний тиск на певн≥й висот≥ й багато ≥нших проблем природознавства, нашого повс¤кденного житт¤ вимагають знанн¤ функц≥й, що описують ц≥ пон¤тт¤ в ц≥лому , а не лише в окол≥ окремих точок . ѕроте ц≥ дв≥ характеристики (характеристика функц≥њ в окол≥ точки ≥ характеристика функц≥њ в ц≥лому ) взаЇмозвТ¤зан≥. “ак, наприклад, знаючи, ¤к визначати момент ≥нерц≥њ матер≥альноњ точки в≥дносно де¤коњ площини, можна прийти до способу визначенн¤ моменту ≥нерц≥њ т≥ла . ƒл¤ цього досить мислено розгл¤дати т≥ло ¤к множину окремих його частин достатньо малих розм≥р≥в (диференц≥юванн¤ ) ≥, вважаючи њх матер≥альними точками, обчислити суму момент≥в ≥нерц≥њ цих частин в≥дносно площини. ” результат≥ отримаЇмо наближено момент ≥нерц≥њ т≥ла . ѕереход¤чи в ц≥й сум≥ до меж≥ , коли розм≥ри частин пр¤мують до нул¤ (≥нтегруванн¤ ) , д≥станемо точне значенн¤ моменту ≥нерц≥њ т≥ла .

ќтже диференц≥юванн¤ за певних припущень Ї оберненою д≥Їю в≥дносно ≥нтегруванн¤ ≥, навпаки, под≥бно до того, ¤к множенн¤, д≥ленн¤, п≥днесенн¤ до степен¤ ≥ добуванн¤ корен¤, логарифмуванн¤ ≥ потенц≥юванн¤, Ї взаЇмно оберненими д≥¤ми .

1.1. ќзначенн¤

‘ункц≥¤ , дл¤ ¤коњ виконуЇтьс¤ р≥вн≥сть , називаЇтьс¤ перв≥сною (або невизначеним ≥нтегралом ) в≥дносно функц≥њ , ≥ позначаЇтьс¤ символом . ќск≥льки де Ц дов≥льна константа , то теж Ї перв≥сною дл¤ функц≥њ

‘ункц≥ю називають невизначеним ≥нтегралом функц≥њ , тобто

. ( 8.15)

ќтже, дл¤ кожноњ функц≥њ , дл¤ ¤коњ ≥снуЇ перв≥сна , ≥снуЇ безл≥ч перв≥сних, що в≥др≥зн¤ютьс¤ одна в≥д одноњ на де¤ку дов≥льну константу . —аме зв≥дси ≥ походить пон¤тт¤ У невизначений ≥нтеграл У . « геометричноњ точки зору невизначений ≥нтеграл представл¤Ї собою сукупн≥сть кривих, зм≥щених одна в≥дносно ≥ншоњ паралельно сам≥й соб≥ вздовж ос≥

” формул≥ (8.15) зм≥ну можна зам≥нити будь ¤кою ≥ншою , наприклад , , , , ≥ в≥д цього , звичайно , р≥вн≥сть (8.15) не порушитьс¤ .

” найпрост≥ших випадках перв≥сну дл¤ заданоњ функц≥њ можна знайти безпосередньо, користуючись формулами дл¤ пох≥дних, ≥ перев≥рити результат безпосередн≥м диференц≥юванн¤м . “ак , наприклад ,

бо

.

ƒл¤ знаходженн¤ перв≥сних в≥д складн≥ших функц≥й дал≥ вивчатимутьс¤ р≥зноман≥тн≥ способи ≥нтегруванн¤ з урахуванн¤м вигл¤ду функц≥њ.

ѕриродно виникаЇ питанн¤: чи дл¤ вс¤коњ функц≥њ ≥снують перв≥сн≥ (невизначений ≥нтеграл)? ¬и¤вл¤Їтьс¤, що не дл¤ вс¤коњ. јле, ¤кщо функц≥¤ неперервна на в≥др≥зку то дл¤ ц≥Їњ функц≥њ ≥снуЇ перв≥сна (а значить, ≥ визначений ≥нтеграл). ÷ей факт буде доведено в п.10.

ѕроте не сл≥д думати, що дл¤ дов≥льноњ функц≥њ повинна ≥снувати перв≥сна у вигл¤д≥ елементарноњ функц≥њ. ≤снують функц≥њ , перв≥сн≥ дл¤ ¤ких не можуть бути елементарними функц≥¤ми . ” такому випадку говор¤ть , що ≥нтеграл не виражаЇтьс¤ в замкненому вигл¤д≥. “ак, наприклад, перв≥сн≥ дл¤ функц≥й

не Ї елементарними функц≥¤ми, тобто не можуть бути виражен≥ н≥¤кими ск≥нченими комб≥нац≥¤ми вс≥х елементарних функц≥й ≥ ск≥нченою к≥льк≥стю елементарних операц≥й над ними .

“ак, наприклад, та ≥з перв≥сних ¤ка перетворюЇтьс¤ в нуль при називаЇтьс¤ функц≥Їю Ћапласа ≥ позначаЇтьс¤ ÷¤ функц≥¤ добре вивчена ≥ дл¤ нењ складен≥ таблиц≥ њњ значень при р≥зних значенн¤х

“а ≥з перв≥сних ¤ка перетворюЇтьс¤ в нуль при називаЇтьс¤ ел≥птичним ≥нтегралом ≥ позначаЇтьс¤

ƒл¤ ц≥Їњ функц≥њ також складен≥ таблиц≥ значень при р≥зних значенн¤х

1.2.“аблиц¤ основних ≥нтеграл≥в

1. .

2. .

3. .

4. .

5.

6.

7. .

8.

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15.

16.

17.

18.

19. .

20. .

21. .

22. .

23.

—праведлив≥сть написаних в таблиц≥ р≥вностей перев≥р¤Їтьс¤ диференц≥юванн¤м (пох≥дна в≥д правоњ частини дор≥внюЇ п≥д≥нтегральн≥й функц≥њ).

ѕр¤ме виведенн¤ де¤ких формул може бути зд≥йснене п≥сл¤ розгл¤ду метод≥в ≥нтегруванн¤ р≥зноман≥тних функц≥й .

3.3. Ќайпрост≥ш≥ правила ≥нтегруванн¤

1	2

Ќазва: ѕерв≥сна функц≥¤ ≥ неозначений ≥нтеграл. ќсновн≥ властивост≥ неозначеного ≥нтеграла.“аблиц¤ основних ≥нтеграл≥в
ƒата публ≥кац≥њ: 2005-03-03 (1202 прочитано)