Математика > Порівняння функцій та їх застосування
Наслідок 1.  (1.16)
і, зокрема, при  
Дійсно, використовуючи неперервність логарифмічної функції, неперервність суперпозиції функцій і рівність (1.6), отримаємо: 
Наслідок 2.  (1.17)
Зокрема, якщо то  (1.І8)
Функція  строго монотонна і неперервна на всій числовій осі, тому зворотна функція  також строго монотонна і неперервна при  . Оскільки при  маємо також і  , то позначення  і  еквівалентні. Застосуємо для обчислення границі (1.17) правило заміни змінної. Поклавши  , отримаємо 
ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ Всі, що розглядаються в цьому пункті, функції визначені в деякому фіксованому проколотому околі  точки  розширеної числової прямої:  при чому цей окіл може бути і одностороній. Тому кожного разу не буде сказано, що  . Як ми вже знаємо, сума, різниця і добуток нескінченно малих функцій є також нескінченно малими функціями; цього не можна, взагалі кажучи, сказати про їх подільність: ділення однієї нескінченно малої на іншу може призвести до різноманітних випадків, як це показують нижче проведені приклади нескінченно малих при  функцій  і  . Нехай, наприклад  і  тоді 
Якщо ж   то  а якщо   , то границя  не існує. Означення 1. Якщо для двох функцій f і g існують такі проколені околи  і сталі  , що для всіх  виконується нерівність  то функція f називається обмеженою порівнянно з функцією g на  і позначається: 
(читається:  є  велике від  при  , прямучому до  ). Наголосимо, що запис  має тут інше, ніж звичайно, значення: він тільки вказує на те, що дана властивість має місце лише в деякому околі точки ні про яку межу тут мови немає. Лема 3. Якщо  і існує скінчена границя  то  Доведення. З існування скінченої границі  ,
слідує існування такого проколотого околу  точки що функція  на ній обмежена, тобто є така стала  , що для всіх  виконується нерівність  а отже, і нерівність  Це і означає, що  ,  . Приклади.  при  , або  при  ;  при  , або  при  . Запис  при  , означає, що функція  обмежена в деякому околі точки  наприклад  при , або  , і, значить, функція  обмежена в околі точки  Означення 2. Якщо функції  і  такі, що  і  при  , то вони називаються функціями одного порядку при , це записується у вигляді : 
Це поняття найбільш змістовне у тому випадку, коли функції f і g є або нескінченно малими, або нескінченно великими при  . Наприклад, функції  і  є при  нескінченно малими одного порядку, бо 
Лема 4. Якщо існує скінчена межа  , то  Доведення. Покладемо  тоді  і  Отже з леми 3,  при . Оскільки  існує такий проколений окіл  точки ,що для всіх  маємо  , а отже, і  Для  покладемо  тоді  і   . Тому, згідно леми 3 
Назва: Порівняння функцій та їх застосування
Дата публікації: 2005-03-03 (2157 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
