Математика > Порівняння функцій та їх застосування
Наприклад візьмемо функцію  і  . Маємо  (див. (1.1)), тому згідно доведеному, функції  і  одного порядку при  . Означення 3. Функціїи  і  називаються эквівалентними при , якщо в деякому проколеному околі  точки  визначена така функція  , що  (1.20)
і  (1.21)
Відзначимо, що через властивість (1.21) знайдеться проколений окіл  точки , у якій  . Вважаючи   бачимо, що умови (1.20) і (1.21) для вказаного проколеного околу рівносильні умовам 
тобто як говорять, еквівалентність двох функцій має властивість симетричності. Функції і , еквівалентні при  , називаються також асимптотично рівними при  Асимптотична рівність (еквівалентність) функцій позначається символом ~:  (1.22)
З сказаного вище слідує, що якщо  при  , то і  при  Приклади. 1.  при  , Дійсно, припустивши  , отримаємо:   і  
2.  ~ при  . Дійсно, якщо  , то  і 
Якщо в деякому проколеному околі  точки справедливі нерівності  то умови (1.20) і (1.21) еквівалентні співвідношенню 
а, отже, й умові 
Щоб в цьому переконатися, достатньо покласти  тоді, очевидно, для функції  виконуються умови (1.20) і (1.21). Якщо f~g і g~f при (1.23) то f~h при (1.24) Дійсно, з умов (1.23) виходить, що в деякому проколеному околі точки  
де  і, отже  ,
де  , тобто виконується асимптотична рівність (1.24). З результатів пункту 1.1 слідує, що при  справедлива наступна еквівалентність нескінченно малих: 
З цієї еквівалентності випливають і більш загальні співвідношення, які сформулюємо у вигляді окремої леми. Лема 4. Якщо функція  така, що  (1.25)
то при ,  (1.26)
Доведення. Покажемо, наприклад, що  (1.27)
Нехай функція  визначена в деякому проколеному околі точки  Покладемо (вважаючи  що належить цоьму околі)  (1.28)
Покажемо, що  (1.29)
Нехай задано  Оскільки 
(тут u — незалежна змінна), існує таке число  що при  виконується нерівність 
Для вказаного  в силу (1.25) знайдеться таке число  , що для всіх  , задовольняючих умову   , виконується нерівністьо Отже, якщо  і  , то 
Інакше кажучи, якщо   і , то  (1.30)
Якщо ж  і  , то згідно (1.28) маємо  і, отже, нерівність (1.30) очевидно також виконується. Рівність (1.29) доведена, а оскільки з (1.28) випливає, що  для всіх  , то доведена справедливість асимптотичної рівності (1.27). Аналогічно доводиться і решта асимптотичні формули (1.26). Означення 4. Якщо в деякому проколеному околі точки  де  , то функція  називається нескінченно малою в порівнянні з функцією  при , пишеться  , (читається: є о мале від  при , прямучому до ).
Назва: Порівняння функцій та їх застосування
Дата публікації: 2005-03-03 (2157 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
