–ис.2.5

якщо в систем≥ координат задано вектор своњм початком ≥ к≥нцем , то (рис.2. 6)

(2.2)

–ис.2.6

÷ей факт доводитьс¤ досить легко.

Ќехай“од≥ з знаходимо

, що випливаЇ безпосередньо з

правила в≥дн≥манн¤ вектор≥в.

4. ѕод≥л в≥др≥зка в заданому в≥дношенн≥

ѕотр≥бно знайти координати точки, що д≥лить в≥др≥зок м≥ж точками ≥ у в≥дношенн≥ (рис. 2.7).

Ќехай ≥ .

“од≥ .

«в≥дси

–ис.2.7

Ќехай координати точки дор≥внюють в≥дпов≥дно . “од≥ матимемо ≥

.

ќск≥льки два вектори р≥вн≥ тод≥ ≥ т≥льки тод≥, коли р≥вн≥ њх в≥дпов≥дн≥ координати, то

(2.3)

ќтже, координати точки знайден≥.

якщо точка середина в≥др≥зка то, очевидно, ≥ з формули (2.3) одержимо координати середини в≥др≥зка

(2.4)

5. ѕол¤рн≥ координати

ѕоложенн¤ точки на площин≥ можна визначити не т≥льки за допомогою пр¤мокутноњ системи координат. “аку проблему можна розвТ¤зати ≥ так: виберемо на точку - полюс ≥ проведемо п≥впр¤му

- пол¤рну в≥сь (рис.2.8).

ѕоложенн¤ точки на площин≥ можна визначити в≥ддаллю точки в≥д полюса - пол¤рним рад≥усом точки ≥ кутом м≥ж ≥ (пол¤рним кутом ). „исла ≥ називаютьс¤ пол¤рними координатами точки в пол¤рн≥й систем≥ координат. якщо , то точц≥ буде в≥дпов≥дати лише одна пара чисел ≥ , ≥ навпаки. ƒл¤ полюса (тобто точки ) , а - дов≥льне число.  ут , ¤к правило, в≥драховуЇтьс¤ в≥д пол¤рноњ ос≥ проти годинниковоњ стр≥лки (на рис. 2.8) це показано дуговою стр≥лкою).

ћожна в≥дмовитись в≥д однозначност≥ пол¤рного кута при визначенн≥ положенн¤ точки , враховуючи ≥ к≥льк≥сть оберт≥в, ¤к≥ зд≥йснюЇ пол¤рний рад≥ус, щоб його к≥нець потрапив в точку . якщо к≥льк≥сть оберт≥в позначити через , то пол¤рний кут точки дор≥внюватиме .

¬≥дмовитись також можна ≥ в≥д обмеженн¤ на знак , щоб в≥др≥знити точки ≥ , що лежать на промен≥ , вважаючи, що дл¤ точки пол¤рний рад≥ус , задл¤ точки .

ƒал≥ будемо вважати, що , а . Ќа рис. 2.8 зображен≥ точки .

Ќа рис.2.8 пол¤рна система координат сум≥щена з пр¤мокутною системою координат , причому полюс пол¤рноњ

–ис.2.8 системи зб≥гаЇтьс¤ з початком координат

пр¤мокутноњ.

“очц≥ в≥дпов≥дають координати пол¤рноњ системи ≥ координати пр¤мокутноњ системи.

« пр¤мокутного трикутника знаходимо

. (2.5)

÷≥ формули дають можлив≥сть перейти в≥д пол¤рних до пр¤мокутних координат. « того самого трикутника знаходимо . «в≥дси

÷≥ формули дозвол¤ють зд≥йснити перех≥д в≥д пр¤мокутноњ до пол¤рноњ системи координат.

6. ÷ил≥ндрична система координат

÷ил≥ндричн≥ координати Ї поЇднанн¤м пол¤рних координат у площин≥ ≥ звичайноњ пр¤мокутноњ (декартовоњ) апл≥кати . ‘ормули, що звТ¤зують ц≥ дв≥ системи координат, мають вигл¤д

(2.6)

де .

“ут кожному конкретному в≥дпов≥даЇ цил≥ндрична поверхн¤. ѕри зм≥н≥ в≥д 0 до так≥ цил≥ндричн≥ поверхн≥ заповнюють весь прост≥р . “в≥рн≥ вс≥х цих цил≥ндр≥в паралельн≥ ос≥ , а њх проекц≥њ на площину Ї кола з центром у початку координат (рис.2.9).  ожному конкретному в≥дпов≥даЇ п≥вплощина, що проходить через в≥сь . ѕри зм≥н≥ в≥д 0 до ц¤ п≥вплощина описуЇ весь прост≥р .

1	2	3

Ќазва: —истеми координат (декартова, пол¤рна, цил≥ндрична, сферична). ƒовжина ≥ координати вектора. ¬екторний прост≥р
ƒата публ≥кац≥њ: 2005-03-03 (1565 прочитано)