Математика > Теореми про диференціальні функції
Рис.2 Оскільки функція f(х)= sin x і її многочлени Тейлора є функції непарні, то на рис. 2 зображена лише „половина” графіків. знайти формулу Маклорена для функції f(х)=ln (1 + х). Знаходимо значення даної функції і її похідних при х = 0: 
Підставляючи значення похідних у формулу Маклорена, маємо  .
Розкласти за формулою Маклорена функції: а)  б)  в)  , a Î R. Аналогічно до попереднього розв’язання маємо: 
Знайти многочлен Тейлора для функції , який зображав би цю функцію на відрізку [-1; 1] з точністю до 0,001. Обчислити наближене значення е. З попереднього прикладу маємо 
підберемо таке п, при якому модуль залишкового члена був би меншим від числа 0,001, маючи на увазі, що | х | £ 1, число с лежить між 0 і х та ес < е|х| < е: 
Отже, п = 6, тому з точністю до 0,001 справедлива наближена формула  .
Якщо в цій формулі покласти, наприклад, х = 1, то матимемо наближене значення числа е:  .
Знайти многочлен Тейлора Р3 (х – 1) третього степеня відносно двочлена х – 1 для функції  . Маємо  
Поклавши у формулі Тейлора (1) х0 = 1 і п = 3, дістанемо  ,
де с лежить між 1 і х, тому  .
Формулу (1) можна записати у вигляді  . (10)
Коли функція f(х) є многочленом Рп (х) степеня п, то похідна  , тому формула (10) матиме вигляд  . (11)
Ця формула називається формулою Тейлора для многочлена. Приклади Розкласти многочлен Р3(х) = 1 – 2х + 3х2 – 4х3 за степенями бінома х + 1. Скориставшись формулою (11) при х0 = –1, маємо  
тому  .
Розкласти многочлен Рп(х) = (b + x)n за степенями х. Маємо Рп(0) = bn,  , тому, поклавши у формулі (11) Рп(х) = (b + x)n , х0 = 0, дістанемо відому формулу бінома Ньютона:  (12)
Назва: Теореми про диференціальні функції
Дата публікації: 2005-03-03 (851 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
