Математика > Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема Абеля
Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема АбеляСторінка: 1/3
План Функціональний ряд. Область збіжності Рівномірна збіжність Степеневі ряди Теорема Абеля Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду Ряди за степенями  1. Функціональні ряди 1.1. Функціональні ряди. Область збіжності Ряд  (13.22)
називається функціональним, якщо його члени є функціями від  Надаючи  певного числового значення, ми одержимо різні числові ряди. Одні з них можуть бути збіжними, інші – розбіжними. Означення. Сукупність тих значень  при яких ряд (13.22) збігається, називається областю збіжності функціонального ряду. Очевидно, що в області збіжності ряду його сума є деякою функцією від . Тому його суму будемо позначати через  Через  позначимо частинну суму ряду (13.22), тобто суму  перших його членів  (13.23)
Тоді  , (13.24)
де 
і називається залишком ряду. Для всіх значень в області збіжності ряду має місце співвідношення  а тому  (13.25)
тобто залишок збіжного ряду прямує до нуля при  Приклад. Знайти область збіжності ряду  . Р о з в ‘ я з о к. Для знаходження області збіжності даного функціонального ряду використаємо радикальну ознаку Коші  . Ряд збігається при тих
значеннях при яких ця границя менша за одиницю, тобто 
Дослідимо збіжність ряду на кінцях проміжку, тобто при  і  . При :  ряд розбігається. При :  ряд розбігається. Областю збіжності даного ряду є проміжок  1.2. Рівномірна збіжність Означення. Функціональний ряд (13.22), збіжний для всіх із області  , називається рівномірно збіжним в цій області, якщо для довільного як завгодно малого числа  існує такий незалежний від номер  що при  нерівність  або  (13.26)
виконується одночасно для всіх із  Приклад 1. Розглянемо прогресію  вона збігається в відкритому проміжку  Для довільного із залишок ряду має вигляд: 
Якщо довільно зафіксувати, то, очевидно:  
Це показує, що здійснити для всіх  одночасно нерівність (якщо  ) при одному й тому ж номері неможливо. Отже, збіжність прогресії в проміжку  нерівномірна; це ж відноситься і до проміжків  і  зокрема. Приведемо без доведення ознаку рівномірної збіжності ряду (13.22). Ознака рівномірної збіжності. Для того, щоби ряд (13.22) рівномірно збігався в області  необхідно і достатньо, щоби для кожного числа існував такий не залежний від номер що при і довільному  нерівність  (13.27)
буде мати місце для всіх із одночасно. Для встановлення на практиці рівномірної збіжності рядів користуються більш зручнішими в застосуванні достатніми ознаками, наприклад ознакою Вейєрштрасса. Ознака Вейєрштрасса. Якщо члени функціонального ряду (13.22) задовольняють в області нерівностям  (13.28)
і числовий ряд  (13.29)
збігається, то ряд (13.22) збігається в рівномірно. При наявності нерівності (13.28) говорять, що ряд (13.22) мажорується рядом (13.29), або що ряд (13.29) служить мажорантним рядом для (13.22). Приклад 2. Розглянемо ряд  Р о з в ‘ я з о к. Оскільки нерівності  виконуються на всій числовій осі, а числовий ряд  збігається, то даний функціональний ряд рівномірно збігається на  1.3. Функціональні властивості суми ряду Ми переходимо тепер до вивчення функціональних властивостей суми ряду, складеного із функцій, в зв’язку із властивістю останніх. Cума скінченого числа неперервних на відрізку  функцій є неперервна на цьому відрізку функція. Для суми ряду (що складається із безмежного числа доданків) ця властивість не зберігається. Тут необхідні додаткові вимоги на неперервні доданки. Теорема 1 (про неперервність суми ряду). Якщо функції   визначені та неперервні в проміжку  і ряд (13.22) рівномірно збігається в до суми  , то й ця сума буде неперервною в проміжку Зауваження. Рівномірна збіжність фігурує в теоремі лише як достатня умова і не потрібно думати, що ця умова є необхідною для неперервності суми ряду. Наприклад, ряд 
на відрізку  має неперервну суму, тотожньо рівну нулю, хоча на цьому відрізку ряд збігається нерівномірно. Теорема 2 (про почленний перехід до границі). Нехай кожна з функцій визначена в області і має скінченну границю при  :
Назва: Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема Абеля
Дата публікації: 2005-03-03 (1014 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
