Математика > Числові послідовності
Послідовність  називається необмеженою, якщо   
Приклади . 1. Нехай  Тоді  Отже, послідовність є обмежена. 2. Розглянемо послідовність  Тут  Яке б число  ми не взяли, знайдеться таке натуральне число, наприклад  , коли  Отже, задана послідовність не є обмежена . Зауваження. Обмежена послідовність не є обов’язково монотонною, і навпаки, не всяка монотонна послідовність є обмежена. Так, послідовність  є обмежена , але не є монотонна; послідовність  є монотонна, але не є обмежена; послідовність  є і необмежена, і немонотонна; послідовність  є обмежена і монотонна. 2. Границя числової послідовності Дамо означення границі послідовності та розглянемо геометричну ілюстрацію цього поняття. Означення . Стале число  називається границею числової послідовності , якщо для будь-якого як завгодно малого додатного числа  існує таке натуральне число  що для всіх  виконується нерівність  (5.2)
Той факт, що є границею послідовності  символічно записується так:  або  при 
Іншими словами, число називається границею послідовності якщо  . (5.3) Приклад. Довести, що  Знайти номер  такий, коли при 
Р о з в ’ я з о к. Згідно з означенням границі треба показати, що  (5.4)
Для виконання нерівності (5.4) треба , щоб  або  .
Отже, існує число  ,а саме  коли при  виконується нерівність(5.4). Тому  Знайдемо залежно від конкретно заданого . Нехай  тоді 
Тому нерівність 
справедлива для всіх  Розглянемо геометричну ілюстрацію того факту, коли є границею числової послідовності . Візьмемо на числовій осі точку з абсцисою і відкладатимемо точки з абсцисами    
Тоді нерівність (5.3) означає, що відстань між точкою  при і точкою повинна бути меншою за . Отже, всі члени послідовності починаючи з  повинні знаходитися в інтервалі  Інтервал  є - околом точки . Якщо число є границею послідовності , то всі члени цієї послідовності, номери яких  знаходяться у довільному - околі точки. Що стосується членів послідовності номери яких  то про їх розміщення на числовій осі нічого не можна сказати, вони можуть знаходитися як всередині - околу точки, так і поза ним. Проте у всякому разі поза довільним - околом точки може бути розміщене тільки скінчене число членів послідовності. 3. Властивості збіжних числових послідовностей Введемо поняття збіжних послідовностей та подамо ряд їх властивостей, які будемо формулювати у вигляді теорем. Означення . Числова послідовність, яка має границю, називається збіжною, а яка не має границі, - розбіжною. Теорема 1. Послідовність може мати тільки одну границю. Теорема 2. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена. Зауваження . Оберненого твердження цієї теореми не існує. Так, послідовність є обмежена,  але вона не має границі. Теорема 3. Якщо  і  то й члени послідовності починаючи з певного номера і для всіх наступних номерів, будуть більші за  (менші за  ). Наслідок 1. Члени послідовності яка має границю, починаючи з певного номера, мають знак цієї границі. Наслідок 2. Якщо дві послідовності і  при кожному значенні  задовольняють нерівності  і  то  Зауваження . Якщо члени послідовностей і  що мають границі, задовольняють при всіх нерівності  то
Назва: Числові послідовності
Дата публікації: 2005-03-03 (910 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
