Фізика > Дослідження стійкості в системі популяційної динаміки із запізненням
3. Система імунного захисту Наша подальша мета – отримати достатні умови стійкості в явному вигляді для наступної нелінійної системи:  (3.1)
Тут  . З цією метою введемо такі позначення. Нехай  – довільні додатні константи. Нехай: 
Теорема 3.1. Нехай існують додатні константи , що задовольняють нерівності: 
Тоді тривіальний розв’язок (22 ) є асимптотично стійким. Доведення. Використаємо квадратичний функціонал вигляду: 
що є додатньо-означеним на розв’язках системи (22). Обчислимо повну похідну функціоналу  , використовуючи систему (22). Маємо: 
Зробимо перетворення в усіх складових порядку, відмінного від двох. Тут береться до уваги додатність траєкторії системи. Маємо: 
Ми отримали нерівність, де в правій частині є квадратична форма, що відповідає вектору: 
Маємо:  .
Тут:  .
Взявши до уваги вигляд матриці  , стає зрозумілим, що від’ємна визначеність є еквівалентною виконанню нерівностей, згаданих у формулюванні теореми. Література Нисевич Н.И., Марчук Г.И. Математическое моделирование вирусного гепатита. – М.: Наука, 1981. Hale J. Theory of Functional-Differential Equations. Springer. – Berlin, 1977. Bellman R., Jacques J., Kalaba R. Some mathematical aspects of chemoterapy. I: one-organ models // Bull. Math. Biophys. – 1960. – Р. 181-198. Marzeniuk V.P. On Construction of Exponential Estimates for Linear Systems with Delay. – Advances in Difference Equations. – Gordon and Breach Science Publishers. – 1997. – Р.439-445. Хусаинов Д.Я., Марценюк В.П. Оптимизационный метод исследования устойчивости линейных систем с запаздыванием // Кибернетика и системный аналіз. – 1996. – №4. – С. 88-93. Хусаинов Д.Я., Марценюк В.П. Двусторонние оценки решений линейных систем с запаздыванием // Доклады НАН Украины.– 1996. – №8. – С. 8-13. Volterra V. Sur la theorie mathmatique des phenomenes hereditaires. J. Math. Pures Appl. – 7 (1928). – Р. 249-298. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. – М.: Физматгиз, 1959. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. – М.: Наука, 1951. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. – М.: Наука, 1971. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с постедействием. – М.: Наука, 1981. – 448 с.
Назва: Дослідження стійкості в системі популяційної динаміки із запізненням
Дата публікації: 2005-03-24 (700 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
