‘≥зика > “ермодинам≥чн≥ властив
“ермодинам≥чн≥ властив—тор≥нка: 1/3
1. ¬ступ 2. ¬ластивост≥ електронного газу в основному стан≥. 3. “ермодинам≥чн≥ властивост≥ газу в≥льних електрон≥в. 4. –озпод≥л ‘ерм≥-ƒ≥рака. 5. «астосуванн¤ розпод≥лу ‘ерм≥-ƒ≥рака. 6. «оммерфельд≥вська теор≥¤ пров≥дност≥ в металах. 7. “ермо-електроруш≥йна сила. 8. Ќедол≥ки модел≥ в≥льних електрон≥в. 9. ќсновн≥ припущенн¤.
1. ¬ступ ¬ часи ƒруде, а пот≥м ≥ прот¤гом багатьох рок≥в ц≥лком розумним здавалос¤ припущенн¤, що розпод≥л електрон≥в за швидкост¤ми сп≥впадаЇ з розпод≥лом у звичайному класичному газ≥ з концентрац≥Їю n-N/V ≥ описуЇтьс¤ в стан≥ р≥вноваги при температур≥ T формулою ћаксвела-Ѕольцмана. «а таким припущенн¤м число електрон≥в в одиниц≥ обТЇму, швидкост≥ ¤ких лежать в ≥нтервал≥ dV з центром V дор≥внюЇ fB(V)dV, де: fB(V)=n(m/2πkBT)3/2e-mvv/2kT (1). « цього видно, що електрони мають давати великий вклад в теплоЇмн≥сть металу, ¤кий дор≥внюЇ 3/2ЈkB на один електрон. ѕроте такий вклад пом≥чений не був. Ќа прот¤з≥ чверт≥ стол≥тт¤ цей парадокс викликав сумн≥ви в справедливост≥ модел≥ ƒруде, ¤к≥ розс≥¤лись лише п≥сл¤ створенн¤ квантовоњ теор≥њ ≥ признанн¤ того факту, що дл¤ електрон≥в в силу принципу заборони ѕаул≥ розпод≥л ћаксвела-Ѕольцмана маЇ бути зам≥нений розпод≥лом ‘ерм≥-ƒ≥рака: f(V)=((m/ħ)3/4π3)(1/(exp((mv2/2-kBT0)/ kBT)-1)) (2). “ут ħ- стала ѕланка, под≥лена на 2π, а T0- температура, що визначаЇтьс¤ з формули T=0,01T0 ≥ зазвичай дор≥внюЇ дес¤ткам тис¤ч градус≥в. n=∫ f(V)dV (3). ѕри температур≥ нижче 103 ≥ при електронних концентрац≥¤х, характерних дл¤ метал≥в, розпод≥л ‘ерм≥-ƒ≥рака надзвичайно сильно в≥др≥зн¤Їтьс¤ в≥д розпод≥лу ћаксвела-Ѕольцмана. «омерфельд застосував принцип заборони ѕаул≥ до в≥льного електронного газу в металах. ћодель «омерфельда ¤вл¤Ї собою модель класичного електронного газу ƒруде, але розпод≥л електрон≥в описуЇтьс¤ статистикою ‘ерм≥-ƒ≥рака, а не ћаксвела-Ѕольцмана. 2. ¬ластивост≥ електронного газу в основному стан≥. Ќам необх≥дно розрахувати властивост≥ основного стану системи ≥з N електрон≥в, що знаход¤тьс¤ в обТЇм≥ V. ќск≥льки електрони не взаЇмод≥ють один з одним, основний стан ц≥Їњ системи можна знайти вичисливши спочатку р≥вн≥ енерг≥њ окремого електрона в обТЇм≥ V ≥ заповнюючи пот≥м вс≥ р≥вн≥ знизу вверх у в≥дпов≥дност≥ з принципом ѕаул≥, ¤кий заборон¤Ї двом електронам одночасно займати один електронний р≥вень. ƒл¤ опису окремого електрона необх≥дно знати його хвильову функц≥ю Ψ(r) ≥ вказати, ¤кий напр¤м маЇ сп≥н. «г≥дно —–Ў маЇмо: -ħ/2m(∂ 2 / ∂ x2+ ∂ 2 / ∂ y2+∂ 2 / ∂ z 2)Ψ(r)= -ħ/2m▼2Ψ(r)=εΨ(r) (4). ќск≥льки електрон рухаЇтьс¤ в метал≥ обТЇмом V, то ввод¤чи граничн≥ умови приймемо, що в нас Ї куб з≥ стороною L=V 1/3. ѕри граничних умовах Ψ(x+L)=Ψ(x), тому дл¤ куба маЇмо: Ψ(x,y,z+L)=Ψ(x,y,z) Ψ(x,y+L,z)=Ψ(x,y,z) (5). Ψ(x+L,y,z)=Ψ(x,y,z) —п≥вв≥дношенн¤ (5) називаютьс¤ граничними умовами Ѕорна- армана. «найдемо розвТ¤зок, що задовольн¤Ї граничн≥ умови (5). –озвТ¤зок (4), ¤кщо знехтувати граничними умовами маЇ вигл¤д: Ψk(r)=eikr/√V (6), при цьому: ε(k)=ħk2/2m (7), де k- будь-¤кий вектор, ¤кий не залежить в≥д просторових координат. ¬ (6) ми вибрали нормований множник так, щоб ймов≥рн≥сть знаходженн¤ електрона будь-де по всьому обТЇму V дор≥внювала одиниц≥: 1=∫dr|Ψ(r)|2 (8). ’вильова функц≥¤ Ψk(r) ¤вл¤Ї собою в≥дпов≥дну функц≥ю оператора ≥мпульсу: p=(ħ/i)( ∂/∂r)= (ħ/i)▼ ( px=(ħ/i)( ∂ / ∂x), py=(ħ/i)( ∂ / ∂y), pz=(ħ/i)( ∂ / ∂z) ) (9), 5. «астосуванн¤ розпод≥лу ‘ерм≥-ƒ≥рака. ¬ газ≥ в≥льних ≥ незалежних електрон≥в одно електронн≥ р≥вн≥ описуютьс¤ хвильовим вектором k ≥ сп≥новим числом s: енерг≥њ р≥вн≥в не залежать в≥д s (при в≥дсутност≥ магн≥тного пол¤ ) ≥ визначаютьс¤ виразом: E(k)=ħ2k2/2m (1) ¬ основному стан≥ зайн¤т≥ т≥льки т≥ р≥вн≥, в ¤ких E(k)≤EF, тому в основному стан≥ функц≥¤ розпод≥лу повинна мати вигл¤д: fkS={1, E(k)<EF ; 0, E(k)>EF (2) « ≥ншоњ сторони в границ≥ T→0 розпод≥л ‘ерм≥-ƒ≥рака набере вигл¤ду limT→0fkS={1, E(k)<μ ; 0, E(k)>μ (3) ўоб ц≥ два вирази були сум≥сн≥, повинна виконуватис¤ умова: limT→0 μ=EF (4) ќдним з найб≥льш важливих приклад≥в застосуванн¤ статистики ‘ерм≥-ƒ≥рака може служити розрахунок електронного вкладу в питому теплоЇмн≥сть металу при пост≥йному обТЇм≥ cv=(T/V)(∂S/∂T)v=(∂U/∂T)v , (5) u=U/V ¬ наближенн≥ незалежних електрон≥в внутр≥шн¤ енерг≥¤ U р≥вна сум≥ добутк≥в E(k) на середнЇ число електрон≥в на даному р≥вн≥, вз¤т≥й по вс≥х одно електронних р≥вн¤х U=2∑kE(k)f(E(k)) (6) ўоб п≥дкреслити, що fk залежить в≥д k т≥льки через енерг≥ю електрона E(k) , ми ввели функц≥ю ‘ерм≥ f(E)= 1/(exp((E-μ)/kST)+1) (7) якщо под≥лити дв≥ частини р≥вност≥ (6) на обТЇм V, використовуючи р≥вн≥сть limV→∞(1/V)∑kF(k)=∫dkF(k)/8π3, то густину енерг≥њ u=U/V можна записати у вигл¤д≥ u=∫dkE(k)f(E(k))/4π3 (8) –озд≥ливши на V також ≥ дв≥ частини сп≥вв≥дношенн¤ N=∑i1/(exp((E-μ)/kST)+1), можна доповнити (8) виразом дл¤ густини електрон≥в n=N/V ≥ використати його дл¤ виключенн¤ х≥м≥чного потенц≥алу n=∫ f(E(k))dk/4π3 (9) ѕри розрахунку типу (8) ≥ (9) , ¤к≥ мають форму ∫ F(E(k))dk/4π3 (10) часто використовують те, що п≥д≥нтегральний вираз залежить в≥д k лише через енерг≥ю електрона E=ħ2k2/2m. ѕереход¤чи в ≥нтеграл≥ до сферичних координат ≥ зам≥нюючи k на E, маЇмо ∫ F(E(k))dk/4π3=∫0,∞k2dk F(E(k))/ π2=∫-∞,∞dEg(E)F(E) (11) “ут g(E)={(m/ħ2π2 )√2mE/ ħ2 , E>0; 0, E<0. ќск≥льки ≥нтеграл (10) ¤вл¤Ї границю суми (1/V)∑ksF(E(k)), ≥з виразу сл≥дуЇ, що g(E)dE=(1/V)l (13) де l- число одно електронних р≥вн≥в в ≥нтервал≥ енерг≥й в≥д E до E+dE. g(E) називають густиною р≥вн≥в в розрахунку на одиницю обТЇму (або густиною р≥вн≥в). g зручно записати у вид≥: g(E)={3n/2EF(E/EF)1/2 , E>0; 0, E<0 (14) ќсобливо важливо знати числове значенн¤ густини р≥вн≥в б≥л¤ поверхн≥ ‘ерм≥, ¤ке може бути представлене в двох екв≥валентних формах, що випливають з сп≥вв≥дношень (12) ≥ (14) g(EF)=mkF/ħ2π2 (15) або g(EF)= 3n/2EF (16) ¬икористовуючи введен≥ позначенн¤, запишемо вирази (8) ≥ (9) наступним чином: U==∫-∞,∞dEg(E)F(E) (17) ≥ n=∫-∞,∞dEg(E)f(E) (18) якщо визначити густину р≥вн≥в з допомогою виразу (13), то ми отримаЇмо дл¤ конкретного випадку, а вирази (17) ≥ (18) справедлив≥ дл¤ будь-¤коњ к≥лькост≥ невзаЇмод≥ючих (незалежних) електрон≥в. ≤нтеграли (17) ≥ (18) мають складну структуру, але њх можна розкласти в р¤д тому, що при вс≥х температурах, ¤к≥ представл¤ють ≥нтерес дл¤ метал≥в, при температурах набагато менш≥й за температуру ‘ерм≥. ‘ункц≥¤ f(E) в≥др≥зн¤Їтьс¤ в≥д свого значенн¤ при нульов≥й температур≥ лише в мал≥й област≥ шириною пор¤дку kBT поблизу μ. “ому в≥дм≥нн≥сть ≥нтеграл≥в типу ∫-∞,∞H(E)f(E)dE в≥д њх значень дл¤ нульовоњ температури ∫-∞,EFH(E)dE повн≥стю визначаЇтьс¤ видом функц≥њ H(E) поблизу точки E=μ. якщо H(E) м≥н¤Їтьс¤ мало в област≥ шириною пор¤дку kBT поблизу точки μ, то температурну залежн≥сть ≥нтеграла можна знайти, зам≥нивши функц≥юH(E) на суму дек≥лькох перших член≥в њњ розкладу в р¤д “ейлора при E=μ: H(E)=∑n=0,∞ (dn/dEn) H(E)|E-μ(E-μ)n/n! (19) –езультат маЇ форму р¤ду ∫-∞,∞H(E)f(E)dE=∫-∞,∞H(E) dE+∑n=1,∞ (kBT)2nan(d2n-1/dE2n-1)H(E)|E-μ (20) ¤кий називаЇтьс¤ розкладом «оммерфельда. an- безрозм≥рна стала пор¤дку одиниц≥. як правило, з вс≥Їњ суми (20) залишають перший ≥ (дуже р≥дко) другий члени. ¬они мають наступний вигл¤д: ∫-∞,∞H(E)f(E)dE=∫-∞,∞H(E) dE+π2/6(kBT)2HТ(μ)+7π4/360(kBT)4HТТТ(μ)+ O(kBT/μ)6 (21) ўоб розрахувати питому теплоЇмн≥сть металу при температурах, малих пор≥вн¤но з TF, скористуЇмос¤ розкладом «оммерфельда (21) ≥ застосуЇмо його до ≥нтеграл≥в (17) ≥ (18) дл¤ густини енерг≥њ ≥ густини числа електрон≥в: U=∫0,μEg(E)dE+ π2/6(kBT)2[μgТ(μ)+g(μ)+ O(T)4 ] (22) n=∫0,μg(E)dE+ π2/6(kBT)2gТ(μ)+ O(T)4 (23) « виразу (23) сл≥дуЇ, що μ в≥др≥зн¤Їтьс¤ в≥д свого значенн¤ EF при T=0 лише на величину пор¤дку T2. “ому з точн≥стю до T2 можна записати ∫0,μH(E)dE=∫0,EFH(E)dE+(μ-EF)H(EF) (24) јналог≥чним чином у виразах(22) ≥ (23) отримаЇмо U=∫0,EFEg(E)dE+ EF ((μ-EF)g(EF)+ π2/6(kBT)2gТ(EF))+ π2/6(kBT)2g(EF) + O(T)4 (25)
Ќазва: “ермодинам≥чн≥ властив
ƒата публ≥кац≥њ: 2005-03-24 (906 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
