ћатематика > ¬ластивост≥ визначеного ≥нтеграла

¬ластивост≥ визначеного ≥нтеграла

1. ¬ластивост≥ визначеного ≥нтеграла

10 ¬еличина визначеного ≥нтеграла не залежить в≥д позначенн¤ зм≥нноњ ≥нтегруванн¤:

тощо.

≤нтегральна сума, а отже, ≥ њњ границ¤ не залежать в≥д того, ¤кою буквою позначено аргумент функц≥њ f. ÷е й означаЇ, що визначений ≥нтеграл не залежить в≥д позначенн¤ зм≥нноњ ≥нтегруванн¤.

¬изначений ≥нтеграл введений дл¤ випадку, коли a<b. ”загальнимо пон¤тт¤ ≥нтеграла на випадки, коли a=b i a>b.

20. ¬изначений ≥нтеграл з однаковими межами ≥нтегруванн¤ дор≥внюЇ нулю:

30. ¬≥д переставленн¤ меж ≥нтегруванн¤ ≥нтеграл зм≥нюЇ знак на протилежний:

(33)

¬ластивост≥ 20 ≥ 30 приймають за означенн¤м. ¬≥дзначимо, що ц≥ означенн¤ повн≥стю виправдовуЇ наведена дал≥ формула Ќьютона Ц Ћейбн≥ца.

40. якщо функц≥¤ f(x) ≥нтегрована на максимальному з в≥др≥зк≥в [a;b], [a;c], [c;b], то справедлива р≥вн≥сть

(34)

(адитивн≥сть визначеного ≥нтеграла).

ѕрипустимо спочатку, що a<c<b. ќск≥льки границ¤ ≥нтегральноњ суми не залежить в≥д способу розбитт¤ в≥др≥зка [a;b] на частинн≥ в≥др≥зки, то роз≥бТЇмо [a;b] так, щоб точка с була точкою розбитт¤. якщо, наприклад, с=хт , то ≥нтегральну суму можна розбити на дв≥ суми:

.

ѕереход¤чи в ц≥й р≥вност≥ до границ≥ при , д≥станемо формулу (34).

≤нше розм≥щенн¤ точок a, b, с зводитьс¤ до вже розгл¤нутого.

якщо, наприклад, a<b<c, то за формулами (34) ≥ (33) маЇмо

Ќа рис. 7.5 показано геометрично цю властив≥сть дл¤ випадку, коли ≥ a<b<c: площа трапец≥њ aABb дор≥внюЇ сум≥ площ трапец≥њ aACc i cCBb.

«ауваженн¤. Ќехай f(x) Ц знакозм≥нна неперервна функц≥¤ на в≥др≥зку [a;b], де a<b, наприклад, (рис.7.6)

—користавшись адитивн≥стю та геометричним зм≥стом ≥нтеграла, д≥станемо

де S1, S2, S3 Ц площ≥ в≥дпов≥дних кривол≥н≥йних трапец≥й.

ќтже, в загальному випадку, з погл¤ду геометр≥њ визначений ≥нтеграл (27) при a<b дор≥внюЇ алгебрањчн≥й сум≥ площ в≥дпов≥дних кривол≥н≥йних трапец≥й, розм≥щених над в≥ссю ќх, мають знак плюс, а нижче ос≥ ќх Ц знак м≥нус. якщо a>b то все формулюЇтьс¤ навпаки .

«азначимо, що площа заштрихованоњ на рис. 7.6 ф≥гури виражаЇтьс¤ ≥нтегралом

50. —талий множник — можна винести за знак визначеного ≥нтеграла

(35)

ƒ≥йсно

60. ¬изначений ≥нтеграл в≥д суми ≥нтегрованих функц≥й дор≥внюЇ сум≥ визначених ≥нтеграл≥в в≥д цих функц≥й:

(36)

ƒл¤ дов≥льного τ Ц розбитт¤ маЇмо

«в≥дси, переход¤чи до границ≥ при д≥станемо формулу (36). ÷¤ властив≥сть маЇ м≥сце дл¤ дов≥льного ск≥нченого числа доданк≥в.

¬ластивост≥ 50 ≥ 60 називають л≥н≥йн≥стю визначеного ≥нтервала.

70. якщо всюди на в≥др≥зку [a;b] маЇмо , то

(37)

(збереженн¤ знака п≥д≥нтегральноњ функц≥њ визначеним ≥нтегралом).

ќск≥льки

то будь-¤ка ≥нтегральна сума ≥ њњ границ¤ при , теж нев≥дТЇмна.

80. якщо всюди на в≥др≥зку [a;b] маЇмо , то

(38)

(монотонн≥сть визначеного ≥нтеграла).

ќск≥льки то з нер≥вност≥ (37) маЇмо

¬икористовуючи властив≥сть 40 , д≥станемо нер≥вн≥сть (38).

якщо то властив≥сть 80 можна зобразити геометрично (7.7): площа кривол≥н≥йноњ трапец≥њ aA1B1b не менша площ≥ кривол≥н≥йноњ трапец≥њ aA2B2b.

90. якщо функц≥¤ f(x) ≥нтегрована на в≥др≥зку [a;b] (a<b), то

(39)

«астосовуючи формулу (38) до нер≥вност≥

д≥стаЇмо

«в≥дки й випливаЇ нер≥вн≥сть (39).

100. якщо то

(40)

—користавшись формулами (39) та (35), д≥станемо

«в≥дси й одержуЇмо нер≥вн≥сть (40), оск≥льки

(41)

110. якщо т ≥ ћ Ц в≥дпов≥дно найменше ≥ найб≥льше значенн¤ функц≥њ f(х) на в≥др≥зку [a;b] (a<b), то

(42)

(оц≥нки ≥нтеграла по област≥).

«а умовою

тому з властивост≥ 70 маЇмо

«астосовуючи до крайн≥х ≥нтеграл≥в формули (35) ≥ (41), д≥стаЇмо нер≥вн≥сть (42).

якщо , то властив≥сть 110 ≥люструЇтьс¤ геометрично (рис. 7.8): площа кривол≥н≥йноњ трапец≥њ aABb не менша площ≥ пр¤мокутника aA1B1b ≥ не б≥льша площ≥ пр¤мокутника aA2B2b.

120. якщо функц≥¤ f(х) неперервна на в≥др≥зку [a;b], то на цьому в≥др≥зку знайдетьс¤ така точка с, що

(43)

(теорема про середнЇ значенн¤ функц≥њ).

якщо функц≥¤ f(х) неперервна на в≥др≥зку, то вона дос¤гаЇ свого найб≥льшого значенн¤ ћ ≥ найменшого значенн¤ т. “од≥ з оц≥нок (42) д≥станемо (¤кщо a<b)

ѕокладемо

ќск≥льки функц≥¤ f(х) неперервна на в≥др≥зку [a;b], то вона набуваЇ вс≥ пром≥жн≥ значенн¤ в≥др≥зка [m; M] (п. 5.3, гл. 4). ќтже, ≥снуЇ точка така, що , або

(44)

зв≥дки й випливаЇ дана властив≥сть.

ƒл¤ випадку, коли a>b, приводимо т≥ сам≥ м≥ркуванн¤ дл¤ ≥нтеграла , ф пот≥м, переставивши границ≥. ѕриходимо до попередньоњ формули.

–≥вн≥сть (44) називаЇтьс¤ формулою середнього значенн¤, а величина f(c) Ц середн≥м значенн¤м функц≥њ на в≥др≥зку [a;b].

“еорема про середнЇ значенн¤ при маЇ такий геометричний зм≥ст (рис. 7.9.): значенн¤ визначеного ≥нтеграла дор≥внюЇ площ≥ пр¤мокутника з висотою f(c) ≥ основою b-a.

“ерм≥н УсереднЇ значенн¤ функц≥њФ добре узгоджуЇтьс¤ з такими ф≥зичними пон¤тт¤ми, ¤к середн¤ швидк≥сть, середн¤ густина, середн¤ потужн≥сть тощо. якщо, наприклад, у формул≥ (44) ≥нтеграл означаЇ пройдений шл¤х за пром≥жок часу f [a;b] (п.2.2), то середнЇ значенн¤ f(c) означаЇ середню швидк≥сть, тобто сталу швидк≥сть, при ¤к≥й точка, рухаючись р≥вном≥рно, за той же пром≥жок часу пройшла б той самий шл¤х, що ≥ при нер≥вном≥рному рус≥ ≥з швидк≥стю f(t).

130. якщо зм≥нити значенн¤ ≥нтегрованоњ функц≥њ в ск≥нченому числ≥ точок, то ≥нтегрован≥сть њњ не порушитьс¤, а значенн¤ ≥нтеграла при цьому не зм≥нитьс¤.

÷¤ властив≥сть даЇ змогу говорити про ≥нтеграл нав≥ть тод≥, коли функц≥¤ f(х) не визначена в ск≥нченому числ≥ точок в≥др≥зка[a;b]. ѕри цьому в цих точках функц≥њ можна надати ц≥лком дов≥льних значень ≥ величина ≥нтеграла не зм≥нитьс¤.

1

Ќазва: ¬ластивост≥ визначеного ≥нтеграла
ƒата публ≥кац≥њ: 2005-03-03 (902 прочитано)