ћатематика > ≈коном≥чний зм≥ст пох≥дноњ. ¬икористанн¤ пон¤тт¤ пох≥дноњ в економ≥ц≥

≈коном≥чний зм≥ст пох≥дноњ. ¬икористанн¤ пон¤тт¤ пох≥дноњ в економ≥ц≥

–озгл¤немо задачу про продуктивн≥сть прац≥. Ќехай функц≥¤ и = и(t) в≥дображаЇ к≥льк≥сть виробленоњ продукц≥њ u за час t i необх≥дно знайти продуктивн≥сть прац≥ в момент t0.

«а пер≥од часу в≥д t0 до t0 + t к≥льк≥сть виробленоњ продукц≥њ зм≥нитьс¤ в≥д значенн¤ u0 = u(t0) до значенн¤ u0 + u = u(t0 +t); тод≥ середн¤ продуктивн≥сть прац≥ за цей пер≥од часу zсер=. ќчевидно, що продуктивн≥сть прац≥ в момент t0 можна визначити ¤к граничне значенн¤ середньоњ проду≠ктивност≥ за пер≥од часу в≥д t0 до t0 + t при t à 0 , тобто

“аким чином, продуктивн≥сть прац≥ Ї пох≥дна в≥д обс¤гу виробленоњ продукц≥њ по часу.

–озгл¤немо ще одне пон¤тт¤, ¤ке ≥люструЇ економ≥чний зм≥ст пох≥дноњ.

¬итрати виробництва y будемо розгл¤дати ¤к функц≥ю к≥лькост≥ проду≠кц≥њ х, що виробл¤Їтьс¤. Ќехай х Ч прир≥ст продукц≥њ, тод≥ y Ч прир≥ст витрат виробництва ≥ - середн≥й прир≥ст витрат виробництва продукц≥њ на одиницю продукц≥њ. ѕох≥дна у' = Ч виражаЇ граничн≥ витрати виробництва ≥ характеризуЇ наближено додатков≥ затрати на виро≠бництво одиниц≥ додатковоњ продукц≥њ.

√раничн≥ витрати залежать в≥д р≥вн¤ виробництва (к≥льк≥сть продукц≥њ, що випускаЇтьс¤) х ≥ визначаютьс¤ не пост≥йними виробничими затратами, а лише зм≥нними (на сировину, паливо та ≥н.). јналог≥чним чином можуть бути визначен≥ гранична виручка, граничний доход, граничний продукт, гранична корисн≥сть, гранична продуктивн≥сть та ≥нш≥ граничн≥ величини.

«астосуванн¤ диференц≥ального численн¤ дл¤ досл≥дженн¤ економ≥ч≠них об'Їкт≥в та процес≥в на основ≥ анал≥зу цих граничних величин д≥стало назву граничного анал≥зу. √раничн≥ величини характеризують не стан (¤к сумарна чи середн¤ величини), а процес зм≥ни економ≥чного об'Їкта. “а≠ким чином, пох≥дна виступаЇ ¤к швидк≥сть зм≥ни де¤кого економ≥чного об'Їкта (процесу) за часом або в≥дносно ≥ншого об'Їкта досл≥дженн¤. јле необх≥дно врахувати, що економ≥ка не завжди дозвол¤Ї використовувати граничн≥ величини в силу непод≥льност≥ багатьох об'Їкт≥в економ≥чних розрахунк≥в та перервност≥ (дискретност≥) економ≥чних показник≥в в час≥ (наприклад, р≥чних, квартальних, м≥с¤чних та ≥н.). ¬одночас у де¤ких ви≠падках можна в≥докремитись в≥д дискретност≥ показник≥в ≥ ефективно ви≠користовувати граничн≥ величини.

–озгл¤немо, ¤к приклад, сп≥вв≥дношенн¤ м≥ж середн≥м та граничним доходом в умовах монопольного та конкурентного ринк≥в.

—умарний доход (виручка) в≥д реал≥зац≥њ продукц≥њ r можна визначи≠ти ¤к добуток ц≥ни одиниц≥ продукц≥њ р на к≥льк≥сть продукц≥њ q, тобто r = pq.

¬ умовах монопол≥њ одна або дек≥лька ф≥рм повн≥стю контролюють пропозиц≥ю певноњ продукц≥њ, а отже ≥ њњ ц≥ну ѕри цьому, ¤к правило, з≥ зб≥льшенн¤м ц≥ни попит на продукц≥ю падаЇ. ¬важаЇмо, що цей процес проходить по пр¤м≥й, тобто крива попиту р (q) Ї л≥н≥йна спадаюча функц≥¤ p = aq + b , де а < 0, b>0 . «в≥дси сумарний доход в≥д реал≥зованоњ продукц≥њ складаЇ r = (aq + b)q = aq2 +bq (див. рис. 4.22). ¬ цьому випадку середн≥й доход на одиницю продукц≥њ rсер = , а граничний прибуток, тобто додатковий доход в≥д реал≥зац≥њ одиниц≥ додатковоњ продукц≥њ, складатиме (див. рис. 4.22). «в≥дси, в умовах монопольного ринку з≥ зрос≠танн¤м к≥лькост≥ реал≥зованоњ продукц≥њ граничний прибуток зменшуЇтьс¤, внасл≥док чого в≥дбуваЇтьс¤ зменшенн¤ (з меншою швидк≥стю) середнього прибутку.

¬ умовах досконалоњ конкуренц≥њ, коли на ринку функц≥онуЇ велика к≥льк≥сть учасник≥в ≥ кожна ф≥рма не спроможна контролювати р≥вень ц≥н, стаб≥льна реал≥зац≥¤ продукц≥њ можлива при дом≥нуюч≥й ринков≥й ц≥н≥, наприклад, р = b. ѕри цьому сумарний прибуток складатиме r = bq i в≥дпов≥≠дно середн≥й прибуток rсер = ; граничний прибуток (див. рис. 4.23). “аким чином, в умовах ринку в≥льноњ конкуренц≥њ, на в≥дм≥ну в≥д мо≠нопольного ринку, середн≥й та граничний прибутки зб≥гаютьс¤.

ƒл¤ досл≥дженн¤ економ≥чних процес≥в та вир≥шенн¤ ≥нших приклад≠них задач використовуЇтьс¤ пон¤тт¤ еластичност≥ функц≥њ.

ќзначенн¤: ≈ластичн≥стю функц≥њ ≈x (y) називаЇтьс¤ границ¤ в≥дношенн¤ в≥дносного приросту функц≥њ у до в≥дносного приросту зм≥нноњ х при х à 0:

(4.21)

≈ластичн≥с≥ь функц≥њ наближено в≥дображаЇ, на ск≥льки в≥дсотк≥в зм≥≠нитьс¤ функц≥¤ у = f (х) при зм≥н≥ незалежноњ зм≥нноњ х на 1%.

¬изначимо геометричний зм≥ст еластичност≥ функц≥њ. «а означенн¤м (4.21) , де Ч тангенс кута нахилу дотичноњ в точц≥ ћ (x, у) (див рис. 4.24). ¬раховуючи, що з трикутника MBN MN = х , MC = y, а з под≥бност≥ трикутник≥в MBN та јћ— , тобто еластичн≥сть функц≥њ (за абсолютною величиною) дор≥внюЇ в≥дношенню в≥дстаней по дотичн≥й в≥д даноњ точки граф≥ка функц≥њ до точок њњ перетину з ос¤ми ќх та ќу. якщо точки перетину дотичноњ до гра≠ф≥ка функц≥њ ј ≥ ¬ знаход¤тьс¤ по одну сторону в≥д точки ћ, то еластич≠н≥сть ≈х (у) додатн¤ (див. рис. 4.24), ¤кщо по р≥зн≥ сторони, то ≈х(у) в≥дм≥нна (див. рис. 4.25).

¬ластивост≥ еластичност≥ функц≥њ:

1. ≈ластичн≥сть функц≥њ дор≥внюЇ добутку незалежноњ зм≥нноњ на темп зм≥ни функц≥њ “у = (ln y)Т = , тобто

2. ≈ластичн≥сть добутку (частки) двох функц≥й дор≥внюЇ сум≥ (р≥зниц≥) еластичностей цих функц≥й:

3. ≈ластичност≥ взаЇмообернених функц≥й Ч взаЇмообернен≥ величини:

(4.22)

≈ластичн≥сть функц≥њ застосовуЇтьс¤ при анал≥з≥ попиту та пропозиц≥њ. Ќаприклад, еластичн≥сть попиту у в≥дносно ц≥ни х (або доходу х) Ч коеф≥≠ц≥Їнт, що визначаЇтьс¤ за формулою (4.21) ≥ наближено в≥дображаючий, на ск≥льки в≥дсотк≥в зм≥нитьс¤ попит (обс¤г пропозиц≥њ) при зм≥н≥ ц≥ни (або доходу) на 1%.

якщо еластичн≥сть попиту (за абсолютною величиною) , то попит вважають еластичним, ¤кщо Ч нееластичпим в≥дносно ц≥≠ни (або доходу). якщо , то мова йде про попит з одиничною еластичн≥стю.

¬изначим, наприклад, ¤к впливаЇ еластичн≥сть попиту в≥дносно ц≥ни на сумарний прибуток z = pq при реал≥зац≥њ продукц≥њ. ¬ище ми вважали кри≠ву попиту р = p(q) Ч л≥н≥йною функц≥Їю; тепер припустимо, що р = p(q) Ч дов≥льна функц≥¤. «найдемо граничний прибуток

¬≥дпов≥дно з формулою (4.22) дл¤ еластичност≥ взаЇмообернених функ≠ц≥й еластичн≥сть попиту в≥дносно ц≥ни обернена еластичност≥ ц≥ни в≥дносно попиту, тобто ≈q(р)=, а також те, що , отримаЇмо при дов≥льн≥й крив≥й попиту

(4.23)

якщо попит не Ї еластичним, тобто < 1 , то в≥дпов≥дно до (4.22) граничний доход буде в≥д'Їмний при будь-¤к≥й ц≥н≥; ¤кщо попит еласти≠чний, тобто > 1 , то граничний прибуток додатний. “аким чином, дл¤ нееластичного попиту зм≥на ц≥ни та граничного прибутку в≥дбуваютьс¤ в одному напр¤мку, а дл¤ еластичного попиту Ч в р≥зних. ÷е означаЇ, що з≥ зростанн¤м ц≥ни дл¤ продукц≥њ еластичного попиту сумарний прибуток в≥д реал≥зац≥њ продукц≥њ зб≥льшуЇтьс¤, а дл¤ товар≥в нееластичного попиту Ч зменшуЇтьс¤. Ќа рис. 4.22 на кривих прибутк≥в вид≥лен≥ област≥ еласти≠чного та нееластичного попиту.

ѕриклад: «алежн≥сть м≥ж витратами виробництва у ≥ обс¤гом продукц≥њ х, що випускаЇтьс¤, визначаЇтьс¤ функц≥Їю у = 50х - 0,05х3 (грош. од.). ¬изначити середн≥ та граничн≥ витрати за умови, що обс¤г продукц≥њ 10 одиниць.

1	2

Ќазва: ≈коном≥чний зм≥ст пох≥дноњ. ¬икористанн¤ пон¤тт¤ пох≥дноњ в економ≥ц≥
ƒата публ≥кац≥њ: 2005-03-03 (1889 прочитано)