ћатематика > ≤нвар≥антн≥сть

≤нвар≥антн≥сть

¬ище ми розгл¤нули де¤к≥ системи координат ≥ њх звТ¤зок м≥ж собою, припускаюс¤, що прост≥р ¤вл¤Їтьс¤ евкл≥довим. Ќаск≥льки евкл≥дова геометр≥¤ може бути справедлива дл¤ ф≥зичних ¤вищ, можна судити т≥льки з експериментальних даних. Ќа сьогодн≥ по крайн≥й м≥р≥ дл¤ класичноњ механ≥ки в област≥ простору з характерними розм≥рами L з ≥нтервалу
10-13см<<L<<1028см ми можемо на основ≥ експериментальних даних говорити, що евкл≥дова геометр≥¤ може бути застосована до ф≥зичних ¤вищ. ¬насл≥док цього ми можемо сформулювати де¤к≥ висновки:

а) ≤нвар≥антн≥сть по в≥дношенню до паралельного переносу. ѕ≥д цим розум≥Їтьс¤, що прост≥р однор≥дний ≥ не зм≥нюЇтьс¤ в≥д точки до точки при такому рус≥. ≤ншими словами. ¤кщо т≥ла перем≥щуютьс¤ без повороту, то њхн≥ властивост≥ не зм≥нюютьс¤.

б) ≤нвар≥антн≥сть по в≥дношенню до повороту. ≤з досл≥ду в≥домо з великою точн≥стю, що прост≥р ¤вл¤Їтьс¤ ≥зотропним, так що вс≥ напр¤мки екв≥валентн≥ ≥ ф≥зичн≥ т≥ла не зм≥нюютьс¤ при поворот≥. Ќа малюнку 1.5 про≥люстрован≥ зазначен≥ ≥нвар≥антност≥ ≥ приведено приклади не≥нвар≥антност≥ в г≥потетичному св≥т≥, в ¤кому при цих рухах можуть зокрема, зм≥нюватись форма ≥ розм≥ри т≥л.

Ќижче ≥нвар≥антност≥ зумовлюють фундаментальн≥ закони збереженн¤.

«алишаючись в такому ≥нвар≥антному по в≥дношенню до паралельного переносу ≥ повороту св≥т≥ розгл¤немо в ¤кому ≥нерц≥альн≥ системи, ¤к≥ рухаютьс¤ одна в≥дносно ≥ншоњ без прискоренн¤ (в тому числ≥ ≥ без нормального; тобто ). «аради простоти допустимо, що система ¬ рухаЇтьс¤ з пост≥йною швидк≥стю в≥дносно системи ј так, що ос≥ х ≥ хТ лежать на одн≥й пр¤м≥й ≥ напр¤млен≥ однаково, ≥ кр≥м того в момент часу початки координат обидвох систем сп≥впадають (мал. 1.6).

“од≥, ¤кщо в момент часу t ¤кась точка ћ маЇ координати хТ, уТ, tТ в систем≥ ¬, то њњ координати в систем≥ ј будуть:

ѕерше р≥вн¤нн¤ (1.25) не м≥стить tТ, бо в класичн≥й механ≥ц≥ вважаютьс¤, що час абсолютний, тобто t=tТ.

‘ормули (1.25) нос¤ть назву перетворенн¤ √ал≥ле¤ дл¤ координат. ≤з перетворенн¤ √ал≥ле¤ сл≥дуЇ закон додаванн¤ швидкостей ≥ правило перетворень дл¤ прискорень:

(1.26) (1.27)

ћи бачимо, що при перетворенн≥ координат завжди можна вказати таки ф≥зичн≥ величини, ¤к≥ залишаютьс¤ незм≥нними (≥нвар≥антними) при такому перетворенн≥. “ак≥ величини називаютьс¤ ≥нвар≥антами. Ќаприклад, при перетворенн¤х √ал≥ле¤, координати, швидк≥сть (а значить ≥мпульс ≥ к≥нетична енерг≥¤ ≥ т.п.) Ц Ї вар≥нтн≥, а прискоренн¤, ≥ час Ц ≥нвар≥антн≥. ¬ цьому контекст≥ розгл¤немо, що буде творитис¤ ≥з законами збереженн¤ ≥мпульсу ≥ енерг≥њ ¤к к≥нетичноњ так ≥ повноњ.

якщо рух де¤коњ системи т≥л (частинок) розгл¤даЇмо в≥дносно ≥нерц≥альноњ системи в≥дл≥ку ј, то при переход≥ до ≥ншоњ ≥нерц≥альноњ системи ¬ зм≥нитьс¤ к≥льк≥сть руху ≥ к≥нетична енерг≥¤ (бо вони Ї вар≥антн≥): ¤кщо через - позначити швидк≥сть в систем≥ ј1, а через - в систем≥ ¬ одн≥Їњ частинки, то

(1.28)

≤з сп≥вв≥дношень (1.25) Ц (1.26) ч≥тко також сл≥дуЇ, що прискоренн¤ Ц ≥нвар≥ант, а також ≥ сили Ц ≥нвар≥антн≥. ???? також сл≥дуЇ з того, що вс≥ механ≥чн≥ сили залежать в≥д в≥дносного розташуванн¤ т≥л або њх в≥дносних швидкостей. ≤ те ≥ ≥нше Ц ≥нвар≥анти. “аким чином, вс≥ три закони ньоютон≥вськоњ динам≥ки справедлив≥ у вс≥х ≥нерц≥альних системах в≥дл≥ку.

І 4. „отирьохвектор ≥ ≥нтервал. ѕрост≥р ћ≥ньковського.

ЌагадаЇмо ≥з курсу загальноњ ф≥зики, що в рел¤тив≥стськ≥й ( не Ќьютон≥вськ≥й) механ≥ц≥, коли швидк≥стю руху т≥л не можна не можна знехтувати пор≥вн¤но з швидк≥стю св≥тла, ¤ка зг≥дно ≤≤ постулату ≈йнштейна одинакова у вс≥х ≥нерц≥альних системах в≥дл≥ку, справедлив≥ перетворенн¤ не √ал≥ле¤, а Ћоренцо (мал. 1.6)

(1.29) (1.30)

ћи бачимо, що при перетворенн¤х Ћоренцо зм≥нюютьс¤ ≥ координати ≥ час. ѕричому останн≥ характеристики нев≥дд≥льн≥ одна в≥д одноњ Ї в≥дносними. јле ≥ в рел¤тив≥стськ≥й механ≥ц≥ можна знайти так≥ величини, сп≥вв≥дношенн¤, ¤к≥ Ї ≥нвар≥антними в дов≥льн≥й ≥нерц≥альн≥й систем≥ в≥дл≥ку.

ѕершим таким ≥нвар≥антом Ї швидк≥сть св≥тла. Ќетрудно переконатис¤ ≥з сп≥вв≥дношень (1.29), що другим важливим ≥нвар≥антом Ї ≥нтервал под≥њ. …ого квадрат визначаЇтьс¤ ¤к:

ќтже: (1.31)

≤нвар≥антами, ¤к ми уже також знаЇмо, з курсу загальноњ ф≥зики Ї маса спокою ≥ енерг≥¤ спокою.

≤з останнього сп≥вв≥дношенн¤ випливаЇ, що коли к≥льк≥сть руху   в одн≥й ≥нерц≥альн≥й систем≥ не залежить в≥д часу то вона залишаЇтьс¤ пост≥йною ≥ в ≥нш≥й систем≥ в≥дл≥ку  Т, поск≥льки m ≥ константи. “обто, закон ≥нерц≥њ справедливий в ус≥х ≥нерц≥альних системах в≥дл≥ку.

 ≥нетична енерг≥¤ системи частинок в систем≥ xOy буде:

ќстанн¤ р≥вн≥сть показуЇ зм≥ну к≥нетичноњ енерг≥њ при переход≥ в≥д одн≥Їњ ≥нерц≥альноњ системи до ≥ншоњ. ќчевидно також, що ¤кщо к≥нетична енерг≥¤ системи в одн≥й ≥нерц≥альн≥й систем≥ в≥дл≥ку посто¤нна в час≥, то вона буде пост≥йною в час≥ ≥ в ≥нш≥й ≥нерц≥альн≥й систем≥ в≥дл≥ку, ¤кщо система частинок замкнута ≥ м≥ж частинками д≥ють т≥льки пружн≥ сили. “аким чином, закон збереженн¤ к≥нетичноњ енерг≥њ справедливий у вс≥х ≥нерц≥альних системах, ¤кщо в≥н справедливий в одн≥й з них. ѕри цьому сл≥д в≥дм≥тити, що к≥льк≥сть руху ≥зольованоњ системи частинок залишаЇтьс¤ пост≥йною завжди ≥ при недружн≥х взаЇмод≥¤х, а к≥нетична енерг≥¤ зменшуЇтьс¤ в цьому випадку на одну ≥ ту ж саму величину в системах xOy ≥ xТOТyТ. ÷е зменшенн¤ Ц ≥нвар≥ант.

ћ≥ж частинками системи можуть д≥¤ти сили, що залежать т≥льки в≥д в≥ддал≥ м≥ж ними ≥ напр¤млен≥ по л≥н≥њ що њх зТЇднують. “од≥ кожна конф≥гурац≥¤ волод≥Ї певною потенц≥альною енерг≥Їю U.

якщо м≥ж частинками ≥зольованоњ системи в≥дбуваЇтьс¤ така взаЇмод≥¤, то закон збереженн¤ енерг≥њ (механ≥чноњ) справедливий у вс≥х ≥нерц≥альних системах.

ќтже ми бачимо, що хоч сам≥ ф≥зичн≥ величини можуть бути вар≥антними, але сп≥вв≥дношенн¤ в ¤к≥ вони вход¤ть (або м≥ж ними) в дов≥льн≥й ≥нерц≥альн≥й систем≥ Ї однаковими (напр. або ). “обто сп≥вв≥дношенн¤ Ї ≥нвар≥антними.

ѕрактичне зан¤тт¤ є1

«адача 1. «акон руху точки в≥дносно системи в≥дл≥ку S маЇ вигл¤д: ; ; , де , ≥ - пост≥йн≥ коеф≥ц≥Їнти. ¬изначити траЇктор≥ю, л≥н≥йну ≥ секторну швидкост≥ а також прискоренн¤ точки в≥дносно т≥Їњ ж системи в≥дл≥ку.

–озвТ¤зок: ƒиференц≥юючи по часу задан≥ функц≥њ , ≥ отримаЇмо проекц≥њ швидкост≥ ≥ прискоренн¤ точки на декартов≥ ос≥

; ;

; ;

¬иражаючи проекц≥њ прискоренн¤ через проекц≥њ рад≥ус-вектора, переконаЇмос¤ в тому, ??????????????????????????????

; ; , тобто,

—екторна швидк≥сть зг≥дно визначенн¤:

тобто секторна швидк≥сть не залежить в≥д часу .

Ќарешт≥, виключаючи ≥з функц≥й ≥ отримаЇмо р≥вн¤нн¤ траЇктор≥њ

; .

1	2

Ќазва: ≤нвар≥антн≥сть
ƒата публ≥кац≥њ: 2005-03-03 (624 прочитано)