ћатематика > ќц≥нюванн¤ парамер≥в модел≥ метoдом найменших квадрат≥в

ќц≥нюванн¤ парамер≥в модел≥ метoдом найменших квадрат≥в

«вернемос¤ до прикладу простоњ економ≥чноњ модел≥, де потр≥бно к≥льк≥сно оц≥нити звТ¤зок м≥ж витратами на споживанн¤ та доходами с≥мТњ. ўоб оц≥нити параметри модел≥ необх≥дно сформувати сукупн≥сть спостережень, кожна одиниц¤ ¤коњ характеризуЇтьс¤ витратами на споживанн¤ ≥ доходами с≥мей. ѕрипустимо, що економетрична модель споживанн¤ будуЇтьс¤ дл¤ т≥Їњ групи людей, в ¤к≥й з≥ зб≥льшенн¤м доход≥в зростають витрати на споживанн¤.

«образимо кожну пару спостережень у систем≥ координат, де величина витрат на споживанн¤ в≥дкладаЇтьс¤ на ос≥ ординат, а доход≥в Ц на ос≥ абсцис. ” результат≥ д≥станемо корел¤ц≥йне поле точок. (рис. 1.1.)

у

≤

≤≤

≤≤≤

х

–ис. 1.1.  орекц≥йне поле точок

Ќа п≥дстав≥ г≥потези про л≥н≥йн≥сть, зв'¤зку м≥ж витратами па споживанн¤ ≥ доходом с≥мей (див. –ис. 1.1), через корел¤ц≥йне поле точок можна провести безл≥ч пр¤мих л≥н≥й, ¤к≥ р≥зн¤тьс¤ м≥ж собою параметрами а0 ≥ а1. “ак, ¤кщо витрати на споживанн¤ описувати≠мутьс¤ пр¤мою ≤, то в≥дхиленн¤ њх фактичних значень в≥д розрахун≠кових матимуть переважно знак Ђм≥нусї. якщо вони описуватиму≠тьс¤ пр¤мою III, то ц≥ в≥дхиленн¤ будуть переважно додатними, а ¤кщо пр¤мою II, то к≥льк≥сть в≥д'Їмних ≥ додатних в≥дхилень буде приблизно однаковою. Ќа¤вн≥сть серед в≥дхилень переважно в≥д'Їм≠них чи додатних значень п≥дтверджуЇ, що вони мають невипадковий характер. ј це означаЇ: певна пр¤ма л≥н≥¤ неадекватно описуЇ факти≠чну залежн≥сть м≥ж витратами на споживанн¤ ≥ доходом с≥мей. «в≥дси постаЇ задача Ч застосувати метод найменших квадрат≥в дл¤ оц≥ню≠ванн¤ параметр≥в модел≥, щоб в≥дхиленн¤ фактичних витрат в≥д роз≠рахункових на основ≥ пр¤моњ мали приблизно однакову суму в≥д'Їм≠них ≥ додатних значень, а також були б найменшими. ќстаннЇ св≥дчи≠тиме про те, що розрахунков≥ значенн¤ витрат на споживанн¤ макси≠мально наближен≥ до фактичних, а це Ї гарантом достов≥рност≥ модел≥.

Ќедоц≥льно знаходити параметри економетричноњ модел≥, м≥н≥м≥≠зуючи суму л≥н≥йних в≥дхилень фактичних витрат на споживанн¤ в≥д розрахункових, бо вона може дор≥внювати нулю, ¤кщо сума в≥д'Їмних ≥ додатних в≥дхилень буде однаковою. “ому м≥н≥м≥зац≥њ п≥дл¤гаЇ сума квадрат≥в в≥дхилень, ≥ величина њњ залежатиме безпо≠середньо в≥д розс≥юванн¤ точок навколо л≥н≥њ регрес≥њ, а саме:

.

ѕринцип найменших квадрат≥в в≥дхилень пол¤гаЇ в знаходженн≥ таких ≥ ,

дл¤ ¤ких , найменша. Ќеобх≥дна умова дл¤ цього в р≥вних нулю частинах пох≥дних ц≥Їњ функц≥њ за кожним ≥з парамет≠р≥в ≥ .ћетод, ¤кий реал≥зуЇ цей принцип, називаЇтьс¤ методом найменших квадрат≥в (1ћЌ ). «ауважимо, що 1ћЌ  можна засто≠совувати лише тод≥, коли залишки розпод≥лен≥ нормально, тобто се≠реднЇ њх значенн¤ дор≥внюЇ нулю ≥ дисперс≥¤ Ч константа. ќск≥льки

= - , то

¬иконавши елементарн≥ перетворенн¤, д≥станемо систему нор≠мальних р≥вн¤нь

ѕ≥дставимо в систему (2.19) значенн¤

¤к≥ обчислен≥ на основ≥ сукупност≥ спостережень, ≥ розв'¤жемо њњ в≥дносно нев≥домих оц≥нок параметр≥в ≥ :

ќск≥льки оц≥нки найменших квадрат≥в так≥, що л≥н≥¤ регрес≥њ обов'¤зково проходить через точку середн≥х значень (,), то оц≥н≠ки параметр≥в модел≥ можна знайти дещо ≥накше.

ѕод≥ливши перше р≥вн¤нн¤ системи (1.1) на п, д≥станемо:

(1.2.)

¬≥дн≥мемо (1.2) в≥д

Ќехай ≥ , тод≥

,

а в≥дхиленн¤ фактичних значень в≥д розрахункових будуть так≥:

—ума квадрат≥в залишк≥в при цьому

=

ћ≥н≥м≥зац≥¤ ц≥Їњ суми за нев≥домою оц≥нкою параметра ¤, даЇ сп≥вв≥дношенн¤

(1.3)

 р≥м того, можна пом≥тити, що тобто друга пох≥дна за параметром - в≥д суми квадрат≥в в≥дхилень додатна. ќтже, знайдене значенн¤ в≥дпов≥даЇ м≥н≥муму суми квадрат≥в в≥дхилень.

ќц≥нку параметра можна обчислити, використавши сп≥вв≥д≠ношенн¤ (1.2.)

(1.4)

—п≥вв≥дношенн¤ (1.3), можна було б д≥стати також, записавши друге р≥вн¤нн¤ системи (1.1) через в≥дхиленн¤ кожноњ зм≥нноњ в≥д њњ середнього арифметичного значенн¤, згадавши при цьому, що сума таких в≥дхилень завжди дор≥внюЇ нулю.

1

Ќазва: ќц≥нюванн¤ парамер≥в модел≥ метoдом найменших квадрат≥в
ƒата публ≥кац≥њ: 2005-03-03 (553 прочитано)