Математика > Порівняння функцій та їх застосування
Порівняння функцій та їх застосуванняСторінка: 1/7
ЗМІСТ Вступ 3 1. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ 4 §1. ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ 4 §2. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ 9 §3. ЕКВІВАЛЕНТНІ ФУНКЦІЇ 18 §4. МЕТОД ВИДІЛЕННЯ ГОЛОВНОЇ ЧАСТИНИ ФУНКЦІЇ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ ДО ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ. 21 ВИСНОВОК 26
Вступ Нехай дано множину Е дійсних чисел. Якщо кожному числу  за певним законом поставлено у відповідність одне дійсне число y, то кажуть, що на множині Е задана (визначена) функція, і записують  . При цьому x називають незалежною змінною, або аргументом, а y – залежною змінною, або функцією. В цій роботі передбачається розглянути: О-символіку Ландау для функцій однієї змінної, заданої в проколотому околі довести ряд тверджень про арифметичні дії над О-символами та еквівалентними функціями; деякі важливі границі; способи порівняння функцій та ін. Розглянути метод виділення головної частини функції в застосуванні до обчислення до границь. Теоретичні дослідження проілюструвати розв’язанням вправ
ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ В цьому пункті обчислюються границі, які неодноразово зустрічатимуться надалі. Лема 1.  (1.1)
Доведення. Розглянемо круг радіусом R з центром в точці О. Нехай радіус 0В утворює кут  , з радіусом ОА. З’єднаємо точки А і В відрізком і проведемо з точки А перпендикуляр до радіуса ОА до перетину в точці С з продовженням радіуса 0В (мал. 28). Тоді площа трикутника АОВ рівна  , площа сектора AОB рівна  а площа трикутника АОС рівна  Трикутник АОВ є частиною сектора АОВ, який у свою чергу є частиною трикутника АОС; тому  звідки 
отже, 
або, замінюючи величини їм оберними  (1.2)
Зауважимо, що через парність функцій  і  нерівність (1.2) справедлива і при  . Оскільки функція неперервна і  , то з (1.2) при  слідує рівність (1.1). Наслідок 1.  (1.3)
Дійсно, 
Наслідок 2.  (1.4)
Функція  строго монотонна і неперервна на відрізку  , тому обернена функція  також строго монотонна і неперервна на відрізкуе  . Оскільки  , то записи і  еквівалентні. Щоб обчислити границю (1.4), застосуємо правило заміни змінної для границю неперервних функцій. Поклавши  , маємо 
Наслідок 3.  (1.5)
Ця рівність випливає аналогічно попередній з (1.3). Лема 2.  (1.6)
Рівність  (1.7)
де  Звідси випливає, що для будь-якої послідовності  натуральних чисел, такї, що  (1.8)
маємо  (1.9)
Дійсно, нехай задано  ; з (1.7) випливає, що знайдеться таке  що при   (1.10)
а з умови (1.8) випливає, що існує таке  що  при  тому в силу (1.10) 
при  що і означає виконання рівності (1.9). Нехай тепер послідовність  така, що  тобто  (1.11)
Покажемо, що  При цьому без обмеження спільності можна вважати, що  Для довільного  знайдеться таке натуральне  що  і, отже,  причому в силу   Тому маємо:  (1.12)
Наголошуючи, що в силу (1,9) 
і 
і переходячи до границю в нерівності (1.12) при  , отримаємо 
Оскільки  —первісна послідовність, яка задовільняє умовам (1.11), то тим самим доведено, що  (1.13)
Нехай тепер послідовність  така, що. 
тобто,  (1.14)
Покладемо  , тоді  і при чому без обмеження спільності можна вважати, що  Тоді 
 ,
де  і
і через вже доведену рівність (1.13) 
Але  була довільною послідовністю, що задовольняє умовам (1.14), тому  (1.15)
Таким чином, функція   має в точці О границі з ліва і права, рівні одному і тому ж числу е. Тому існує і її двостороння границя при  , яка також рівна е.
Назва: Порівняння функцій та їх застосування
Дата публікації: 2005-03-03 (2157 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
