ћатематика > —истеми координат (декартова, пол¤рна, цил≥ндрична, сферична). ƒовжина ≥ координати вектора. ¬екторний прост≥р

 ожному сталому в≥дпов≥даЇ площина, паралельна площин≥ . ѕри зм≥н≥ ц≥ площини теж заповнюють весь прост≥р .

÷ил≥ндрична система часто використовуЇтьс¤ у багатьох задачах математики, зокрема Ц в ≥нтегральному численн≥.

7. —феричн≥ координати

—феричними координатами Ї , а декартовими - ≥

. Ќа рис.2.10 поЇднано ц≥ дв≥ координатн≥ системи. “ут набуваЇ дов≥льних нев≥дТЇмних значень, тобто .

–ис.2.9 –ис.2.10

 ожному конкретному в≥дпов≥даЇ сфера рад≥уса з центром у початку координат. ѕри зм≥н≥ вс≥ ц≥ сфери заповнюють весь прост≥р. ѕараметру в≥дпов≥даЇ п≥вплощина, що проходить через в≥сь , а - кругов≥ конуси, в≥ссю ¤ких Ї в≥сь . “ут маЇтьс¤ на уваз≥ двопорожнинний конус (рис.2.10). “епер зрозум≥ло, що величина зм≥нюЇтьс¤ в≥д 0 до , бо при так≥й зм≥н≥ множина вс≥х конус≥в заповнюЇ весь прост≥р . ќчевидно також, що .

—ферична система координат теж широко використовуЇтьс¤ в р¤д≥ галузей математики, зокрема при обчисленн≥ потр≥йних ≥нтеграл≥в.

«вТ¤зок м≥ж сферичною ≥ декартовою системою координат описуЇтьс¤ формулами

. (2.7)

Ќаприклад, перше з цих сп≥вв≥дношень доводитьс¤ так:

(≥з пр¤мокутного трикутника ). ƒал≥ , що ≥ треба було довести.

≤нш≥ сп≥вв≥дношенн¤ довод¤тьс¤ аналог≥чно.

9. «м≥на системи координат

–озгл¤немо дв≥ декартов≥ системи координат: стару ≥ нову Ќехай дов≥льна точка, координати ¤коњ в цих системах координат позначимо в≥дпов≥дно ≥ ѕоставимо перед собою задачу виразити через

вважаючи в≥домими положенн¤ новоњ системи координат

в≥дносно староњ, тобто вважаючи в≥домими стар≥ координати нового початку координат ≥ координати нових базисних вектор≥в в старому базис≥, що складають матрицю переходу в≥д базису

до базису

.

¬ матриц≥ переходу стовпц≥ Ц це координати нових базисних вектор≥в

за старим базисом .

–ад≥ус-вектори точки в≥дносно точок ≥ звТ¤зан≥ р≥вн≥стю

оск≥льки координати в базис≥ . –озкладемо кожен член даноњ р≥вност≥ за базисом , маючи на уваз≥, що компоненти ≥ дор≥внюють координатам точок ≥ ¤к≥ ми позначили в≥дпов≥дно через ≥ «апишемо р≥вн≥сть в координатн≥й форм≥

–≥вност≥ представл¤ють закон перетворенн¤ координат точки при переход≥ в≥д одн≥Їњ декартовоњ системи координат до ≥ншоњ.

‘ормули переходу в≥д одн≥Їњ декартовоњ системи координат на площин≥ до ≥ншоњ можуть бути одержан≥ ≥з

–озгл¤немо частинний випадок, коли обидв≥ системи координат Ц декартов≥ пр¤мокутн≥ ( базиси - ≥ ѕозначимо через кут м≥ж векторами ≥ ¤кий в≥драховуЇтьс¤ в напр¤мку найкоротшого повороту в≥д до “од≥ (рис.2.11)

–ис.2.11а –ис.2.11б

¬ розклад≥ ставитьс¤ знак плюс (рис.2.11а), ¤кщо найкоротший поворот в≥д до направлений так само, ¤к найкоротший поворот в≥д до тобто ¤кщо новий базис повернутий в≥дносно старого на кут «нак м≥нус в розклад≥ ставитьс¤ в протилежному випадку, коли новий базис не може бути одержаний поворотом старого (рис.2.1б). ќск≥льки

одержимо

(2.8)

причому при поворот≥ системи координат беретьс¤ верхн≥й знак.

1	2	3

Ќазва: —истеми координат (декартова, пол¤рна, цил≥ндрична, сферична). ƒовжина ≥ координати вектора. ¬екторний прост≥р
ƒата публ≥кац≥њ: 2005-03-03 (1565 прочитано)