Математика > Теореми про диференціальні функції

& Приклад. Знайти: .

.

& Приклад. Знайти .

.

ІІ. Невизначеність

за допомогою перетворень зводиться до невизначеності виду

Знайти , якщо

& Приклад.

ІІІ. Невизначеність 1¥ – за допомогою перетворень зводиться до .

Знайти .

.

& Приклад. Знайти

IV. Невизначеності виду за допомогою перетворень зводяться до невизначеності виду .

Знайти при або ,

& Приклад. Знайти

.

& Приклад. Знайти

.

& Приклад. Знайти

.

L Зауваження. Часто границі обчислюють, комбінуючи різні методи – застосування шкали еквівалентностей та правила Лопіталя.

– 2 –

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Розглянемо одну з основних формул математичного аналізу, так звану формулу Тейлора, яка широко застосовується як в самому аналізі, так і в суміжних дисциплінах. Зупинимося лише на трьох застосуваннях.

В пункті про нескінченно великі величини ми можемо побачити, що заміна приросту функції її диференціалом дає змогу утворювати різні наближені формули. Виявляється, що ці формули можна уточнити, якщо застосувати диференціали вищих порядків: про це і йдеться у формулі Тейлора.

Формула Тейлора дає змогу розробити простий аналітичний апарат для обчислення значень функції у = f(х), які відповідають заданим значенням незалежної змінної х. Зрозуміло, що в тих випадках, коли функція задається формулою виду , значення обчислюються лише за допомогою чотирьох арифметичних дій. Але як знайти, наприклад, значення функції ? Очевидно, цю задачу найпростіше можна „розв’язати” за допомогою калькулятора. Але ж калькулятор дає лише відповідь. А питання про те, які він при цьому виконує дії, залишається відкритим. Формула Тейлора і вказує, які арифметичні дії потрібно виконати над х, щоб одержати sin x.

Іншими словами, формула Тейлора дає змогу зобразити дану функцію многочленом, що зручно для складання програм і обчислень цієї функції на ЕОМ.

Ще одне практичне застосування цієї формули пов’язане з обробкою числових експериментальних даних. Якщо в результаті експерименту одержимо масив значень (хі ; уі), то спочатку будують графік залежності у =,а потім цю залежність описують аналітично, причому, як правило, у вигляді многочлена.

Обґрунтування можливості представляти функцію многочленом дає формула Тейлора.

Теорема. Нехай функція має в точці х0 і в деякому її околі похідні до (п+1)-го порядку включно, і нехай х – довільне значення аргументу із вказаного околу (х ¹ х0). Тоді між точками х0 і х знайдеться така точка с, що справедлива формула

(1)

Позначимо многочлен, що стоїть у правій частині формули (1), через j (х, х0):

(2)

Його називають многочленом Тейлора степеня п для функції.

Різницю між функціями f(х) і j () позначимо через Rп (х):

Теорема буде доведена, якщо встановимо, що

(3)

де точка С лежить між точками х0 і х.

Зафіксуємо довільне значення х > х0 із вказаного околу. Позначимо через t величину, що змінюється на відрізку , тобто , і розглянемо функцію

. (4)

Ця функція задовольняє всі умови теореми Ролля, тому знайдеться точка с Î (х0; х) для якої

. (5)

Якщо в функцію (4) підставити значення функції j (x, t) з формули (2) і результат про диференціювати по t, то знайдемо

. (6)

Покладемо у формулі (6) t = с, тоді з рівності (5) дістанемо

.

Розв’язуючи це рівняння відносимо Rп (х), дістанемо формулу (3).

Формула (1) називається формулою Тейлора для функції f(х) в околі точки х0, а вираз (3) для Rп (х) – залишковим членом у формулі Лагранжа. Величина Rп (х) показує, яку помилку ми робимо, замінюючи функцію f(х) її многочленом Тейлора (2).

При цьому формулу (3) можна використати для того, щоб оцінити величину Rп (х) при х ® х0 і фіксованому п, а також при п ® ∞ .

Формулою Маклорена називають формулу Тейлора (1) при х0 = 0:

(7)

де точка с знаходиться між 0 і х (с = q х, 0 < q < 1).

Подамо формулу (1) через диференціали вищих порядків. Для цього покладемо в ній х – х0 = Dх, х = х0 + Dх:

(8)

Оскільки f(х0 + Dх) – f(х0 )= Dу, f (п)(х0) Dхп = dпу, то формулу (8) можна записати у вигляді

. (9)

Покажемо, що коли функція f (п+1)(х) в околі точки х0 обмежена, то залишковий член Rп (х) при х ® х0 є нескінченно малою вищого порядку, ніж (х – х0)п:

,

тому, що добуток обмеженої величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала.

Таким чином, обриваючи формулу (8) або (9) все далі і далі, дістаємо все точніші наближені формули: з точністю до величини (це відомі формули для наближених обчислень за допомогою першого диференціала); з точністю до величини ½Dх½3

;

з точністю до величини Dх4

.

Те саме можна сказати про формулу (1): для тих значень х, для яких залишковий член Rп (х) достатньо малий, многочлен Тейлора (2) дає наближене значення функції f(х).

Многочлени Тейлора дають найкраще наближення функції f(х) у вигляді многочлен даного степеня поблизу точки х0. це треба розуміти так (рис. 1): серед усіх многочленів цього степеня які збігаються з функцією при х = х0, лише для многочлен Тейлора, величина виявляється найменшою.

Рис. 1

Із формули (3) видно, що залишковий член Rп (х) може бути малим навіть при великому відхиленні х від х0, якщо взяти достатньо великим порядок п многочлена Тейлора, тому, що факторіал при збільшенні п росте швидше степеня.

Приклади

Написати формулу Маклорена для функції f(х)= sin x і оцінити залишковий член. Побудувати функцію і чотири перших многочлени Тейлора.

Оскільки

,

то

.

Підставивши значення похідних у формулу (7), дістанемо для функції f(х)= sin x формулу Маклорена

,

де с лежить між 0 і х .

Оскільки , то для залишкового члена справедлива оцінка

.

Нехай, наприклад, . Покладемо k = 4, тоді

.

Це означає, що наближена формула

дає змогу обчислювати значення sin x при х Î з точністю до п’яти знаків.

Неважко (за допомогою калькулятора) переконатись, що ця сама формула, але на проміжку наближає функцію sin x з точністю до 0,01. На рис. 2 показано, як із збільшенням степеня п розширюється „сфера дії” перших трьох многочленів Тейлора:

і т. д.

1	2	3

Назва: Теореми про диференціальні функції
Дата публікації: 2005-03-03 (851 прочитано)