Математика > Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних
Візьмемо довільну функцію  , яка в околі деякої точки  і в самій точці  має похідні до  -го порядку включно. Тоді для такої функції можна побудувати многочлен  (6.78)
Цей многочлен називається многочленом Тейлора для функції Розглянемо таку різницю: 
Оскільки  залежить від  то й  залежить від  Тоді 
або  (6.79)
Формула (6.79) називається формулою Тейлора для функції  а функція - залишковим членом формули Тейлора. Отже, формула Тейлора (6.79) відрізняється від формули Тейлора (6.77) для многочлена тим, що вона містить залишковий член  Виразимо через похідну  -го порядку від функції Теорема. Якщо в деякому околі, наприклад, на відрізку  точки має неперервні похідні до -го порядку включно, то залишковий член у формулі Тейлора можна записати у вигляді  (6.80)
де  Формула (6.79) записується тепер у вигляді  (6.81)
і справедлива для будь-якого  Формула (6.81) називається формулою Тейлора із залишковим членом виду Лагранжа. Якщо в цій формулі покласти  , то матимемо так звану формулу Маклорена  (6.82)
Враховуючи вирази для диференціалів різних порядків функції можна записати формулу (6.81) в диференціальній формі:  (6.83)
6.14.3. Формула Тейлора для функції двох змінних Нехай функція  має в околі точки  неперервні частинні похідні до -го порядку включно. Формулу Тейлора зручно записати в диференціальній формі:  (6.84)
де  Аналогічний вигляд має формула Тейлора для функції більшого числа змінних.
Назва: Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних
Дата публікації: 2005-03-03 (1701 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
