Математика > Формула Ньютона – Лейбніца
Формула Ньютона – Лейбніца
Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y = k x, y = x² Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється. Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 – 1716). Строге доведення формули Ньютон – Лейбніца дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули геометрич-ним міркуванням. Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що
Виберемо довільну точку x є [ a; b]і проведемо через неї пенпендикуляр хК до осі Ох. Площа фігури а А К х змінюється зі змінною х. Позначемо цю функцію через S (x) і покажемо, що існує її похідна причина, при чому S΄(x)=ƒ(x), де y=ƒ(x) – підінтегральна функція, графік якої обмежує криволінійну трапецію. Інакше кажучи, покажемо, що S (x) є первісною для ƒ(x). Надамо змінній x приросту Δx, вважаючи ( для спрощення міркування), що Δx > 0. Тоді й фенкція S (x) набуде приросту ΔS (x). У курсі математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку[ a; b]функція y=ƒ(x )досягає на цьому найбільшого і найменшого значень. Оскільки підінтегральна функція y=ƒ(x ) є неперервною на відрізку[x,x+Δx], то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень. Отже, m Δx < Δ S (x) < M Δx Позначимо через F(x)будь-яку первісну для функції y=ƒ(x ). За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком C. Тому S(x) = F(x)+ C. (1) При x=a криволінійна трапеція вироджується у відрізок a A, тому S(x) = 0. Підставивши у рівність (1) замість х число а , а замість S(x) число 0, одер-жимо C= - F(a). Після підстановки замість C у рівність (1) його значення маємо S(x) = F(x)-F(a). (2) Коли x=b, то площа криволінійної трапеції дорівнює числуS=S(b). Крім того, за цією умови рівність (2) матиме вигляд S(b) = F(b)-F(a). Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнює b значенню ∫ ƒ(x) dx. Тому можна зробити висновок, що a b ∫ ƒ(x) dx = F(b)-F(a). (3) Це і є формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтегралу на відрізку[a;b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при x=b i x=a. Різницю F(b)-F(a) позначають. Тому рівність (3) можна записати так: (кв. од.); 
П р и к л а д 3. Обчислимо за формулою Ньютона – Лейбніца площу фігури, обмеженої зверху синусоїдою y=sin x,   знизу – віссю Ох, а з боків – прямими
              Розв’язання: Запишемо символічно основні властивості інтеграла, які випливають із властивостей первісної та формули Ньютона – Лейбніца. Їх неважко довести, користуючись означенням інтеграла: відрізки точкою с, то інтеграл на відрізку[a;b]дорівнює сумі інтегралів на відрізках[a;b] i [a;c].  де Доведіть самостійно перші три властивості. Останню властивість доведено в курсі математичного аналізу. Приклад 4. Обчислити
Розв’язання: Приклад 5. Обчислити Розв’язання:
Приклад 6. Обчислити 
Розв’яззати: 
 | | 1 |
Назва: Формула Ньютона – Лейбніца
Дата публікації: 2005-03-03 (885 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
