ћатематика > „ислов≥ посл≥довност≥. √раниц¤, основн≥ властивост≥ границь. Ќеск≥нченно мал≥ ≥ неск≥нченно велик≥ величини, њх властивост≥

„ислов≥ посл≥довност≥. √раниц¤, основн≥ властивост≥ границь. Ќеск≥нченно мал≥ ≥ неск≥нченно велик≥ величини, њх властивост≥

ѕлан

„ислова посл≥довн≥сть.

ќзначенн¤ границ≥ числовоњ посл≥довност≥.

ќсновн≥ теореми про границ≥.

ќбчисленн¤ де¤ких границь.

ћонотонн≥ посл≥довност≥.

„исло е.

¬ерхн¤ та нижн¤ границ¤.

‘ункц≥ональна посл≥довн≥сть критер≥й  ош≥.

”¤в≥мо соб≥ натуральний р¤д чисел. «≥ставимо з дов≥льним числом n в≥дпов≥дно з де¤ким правилом аn. ”пор¤дкований наб≥р чисел а1, а2, ... аn називаЇтьс¤ числовою посл≥довн≥стю. «адати числову посл≥довн≥сть означаЇ задати закон, за ¤ким кожному натуральному n ставитьс¤ у в≥дпов≥дн≥сть Їдине ц≥лком визначене число аn.

аn Ц Їдиний член посл≥довност≥: 1, -1, 1, -1, ...., (-1)n.

а, а Ј q Е a Ј q-1, an = a Ј q-1. a x d, Е a + (n-1)d, an = a (n-1)d

an = 1 + 2n (1, 3, 5, 7).

«алежно в≥д зростанн¤ n зазначен≥ вище посл≥довност≥ повод¤ть себе по-р≥зному (одн≥ зростають, ≥нш≥ спадають, зм≥нюють знаки) a + (n-1)d , при d<0. ѕосл≥довност≥, що мають певну властив≥сть ст≥йкост≥ член≥в, ¤ка ви¤вл¤Їтьс¤ в тому, що њх члени ≥з зростанн¤м стають дедал≥ ближчими до певного числа Ц зб≥жн≥, а число до ¤кого наближаютьс¤ њњ члени Ц границ¤ в≥дпов≥дноњ посл≥довност≥.

„исло ј Ц називаЇтьс¤ одиницею числовоњ посл≥довност≥, ¤кщо дл¤ будь-¤кого ≈>0,¤ким би малим воно не було, можна визначити такий номер N, що нер≥вн≥сть |A-an|<E виконуЇтьс¤ дл¤ вс≥х n>N. “е, що означена границ¤ числовоњ посл≥довност≥ маЇ свою границю ј записуЇтьс¤:

ѕро посл≥довн≥сть, ¤ка маЇ границю будемо говорити, що вона зб≥гаЇтьс¤. √еометрична ≥нтерпретац≥¤ границ≥ посл≥довност≥ така, ¤кщо , то ¤кий би в≥др≥зок [A-E, A+E] (≈ ок≥л.) ми не вз¤ли вс≥ члени посл≥довност≥ {an} починаючи з де¤кого номера N залежить ≈. (N=NE). границею Ї ќ ≈ = 1/1000, N = 1000, що дл¤ вс≥х n>N маЇмо нер≥вн≥сть |0 Ц an|<E. Ќехай n = 1002 à

якщо посл≥довн≥сть границ≥ немаЇ, то вона розб≥гаЇтьс¤. 1, 2, 3, 4... n... ƒоведем, що посл≥довн≥сть натуральних чисел розб≥жна.

Ќехай посл≥довн≥сть {n} зб≥жна, тод≥ вс≥ њњ члени починаючи з де¤кого номера (NE) попадуть в ≈ок≥л . јле ¤кщо ≈ < 1/2 , то ≈ок≥л т.ј буде меншим за одиницю, а в посл≥довност≥ натуральних чисел в≥дстань м≥ж двома сус≥дн≥ми числами Ц 1. ќтже, посл≥довн≥сть натуральних чисел розб≥жна. „ислова посл≥довн≥сть, що зб≥гаЇтьс¤ до нул¤ Ї неск≥нченно малою посл≥довн≥стю .

„ислову посл≥довн≥сть називають неск≥нченно великою, ¤кщо ¤ким би не було число ћ, можна визначити такий номер N, що дл¤ вс≥х n>M виконуЇтьс¤ нер≥вн≥сть |an|>M.

ѕосл≥довн≥сть {an} обмежена, ¤кщо ≥снуЇ число ћ, що дл¤ вс≥х n виконуЇтьс¤ нер≥вн≥сть |an|<M.

ƒл¤ того, що посл≥довн≥сть {an} зб≥галась до ј необх≥дно ≥ достатньо, щоб посл≥довн≥сть {αn= A - an} була неск≥нченно малою.

якщо {αn} ≥ {βn} неск≥нченно мал≥, а {cn} обмежена, то {αn + βn} та cn + αn} неск≥нченно мал≥.

«б≥жна посл≥довн≥сть обмежена

якщо:

якщо

якщо

якщо

ƒл¤ того, щоб {αn},αn була неск≥нченно малою необх≥дно ≥ достатньо, щоб була неск≥нченно великою.

якщо

якщо дано дв≥ посл≥довност≥ {an} ≥ {bn}, ¤к≥ мають границ≥ ≥ дл¤ вс≥х n виконуЇтьс¤ нер≥вн≥сть аn < bn, то

Ќехай   належить Z, тод≥ при  >0 ≥ при  <0.

якщо

Ќехай –r(n) = ao Ј nr + a1 Ј nr-1 Е ar, тод≥

якщо ао ≥ во не дор≥внюють 0, то

1

Ќазва: „ислов≥ посл≥довност≥. √раниц¤, основн≥ властивост≥ границь. Ќеск≥нченно мал≥ ≥ неск≥нченно велик≥ величини, њх властивост≥
ƒата публ≥кац≥њ: 2005-03-03 (424 прочитано)