Математика > Скалярний добуток двох векторів, його властивості. Векторний добуток, його властивості. Змішаний добуток трьох векторів
1) числові значення моменту, що дорівнює  ; 2) площина, у якій лежать сила  і точка  ; 3) напрям, в якому діє сила. Всі ці три характеристики можна виразити за допомогою одного вектора  , якщо 1)  ; 2)  ( - площина); 3) спрямуємо вектор так, щоб цей напрямок був деяким однозначним чином зв’язаний з напрямом сили (рис. 2.13 а,б). У ролі такого зв’язку між напрямами виберемо “правило свердлика “: проведемо вектор так, щоб обертання головки свердлика збігалося з напрямом дії сили, а поступальний рух свердлика збігався з напрямом вектора . Тоді, у випадку, показаному на рис. 2.13б – донизу. Вектор є вектором моменту сили. Якщо ввести в розгляд вектор   (рис.2.13), то, враховуючи, що Рис. 2.13а Рис.2.13б  , матимемо числове значення вектора :
а напрямок його визначається за “правилом свердлика”. Вектор можна паралельно перенести в точку  . Добуток можна трактувати як площу паралелограма, побудованого на векторах і . Розглянемо впорядковану трійку векторів  яка віднесена до спільного початку. Вектори  утворюють праву трійку, якщо з кінця вектора  видно найкоротший поворот від вектора  до вектора  проти стрілки годинника. В противному випадку, якщо цей поворот видно за стрілкою годинника, то вектори утворюють ліву трійку. Означення. Векторним добутком вектора на вектор називається такий третій вектор , довжина якого чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і , перпендикулярний до площини цих векторів і спрямований так, що вектори утворюють праву трійку. З означення випливає, що довжина вектора становить  .
Векторний добуток на позначається символом  або  .
Отже, в розглянутому прикладі про момент сили можна записати:  або  , а напрямок вектора  , якщо поглянути на напрямки обертання головки свердлика, відповідає тому, який визначається означенням векторного добутку. До поняття векторного добутку приводять багато інших задач фізики і техніки. Наприклад, зв’язок між кутовою швидкістю обертання, лінійною швидкістю і радіусом обертання теж дається векторним добутком  . З означення векторного добутку випливає, що він перетворюється в нуль тоді і тільки тоді, коли хоч би один з векторів дорівнює нулю, або якщо вектори колінеарні (тобто паралельні). Умови колінеарності двох векторів і виглядає так:  і, зокрема,  .
Умову колінеарності можна виразити і так:  , де  - числовий множник. Розглянемо векторний добуток векторів, заданих координатами.
Користуючись означеннями векторного добутку, легко довести, що 
Останні три рівності легко запам’ятати за схемою, зображеною на рис.2.14, рухаючись у напрямку, показаному стрілками. Якщо рухатись Рис.2.14 у протилежному напрямку, то матимемо  .
Нехай  . Тоді   .
Враховуючи таблицю одиничних ортів, одержимо 
  .
Отже,  . (2.15)
Основні властивості векторного добутку. 10.  (ця властивість доведена раніше). 20.  . Доведення цієї властивості випливає з рівності (2.15). Справді, в результаті перестановки множників у добутку 2-й і 3-й рядки визначника в (2.15) поміняються місцями, а це означає, що знак визначника зміниться. 30. і  . Ці рівності теж легко доводяться на основі рівності (2.15). 40.  Читачеві пропонується довести цю властивість самостійно. Приклад . Знайти віддаль від точки  до прямої, що проходить через точку  паралельно вектору  . Р о з в ’ я з о к. На векторах  і побудуємо паралелограм  (рис.2.15). Оскільки згідно з означенням векторного добутку площа паралелограма чисельно дорівнює модулю векторного добутку векторів і  , то  . Отже, 
 .
Тому 
 .
Оскільки  , то 
Назва: Скалярний добуток двох векторів, його властивості. Векторний добуток, його властивості. Змішаний добуток трьох векторів
Дата публікації: 2005-03-03 (1028 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
