Математика > Скалярний добуток двох векторів, його властивості. Векторний добуток, його властивості. Змішаний добуток трьох векторів
Але  . Тепер вже легко записати, чому дорівнює  . 
Рис.2.15 3. Векторно-скалярний (змішаний) добуток трьох векторів Коли мова йде про добуток трьох векторів  і  , можливі такі випадки: 
Легко зрозуміти, що перший добуток є вектором, бо  є скаляр, а добуток скаляра на вектор – вектор; у третьому випадку маємо векторний добуток  , що множиться векторно на вектор  , тобто зводиться до обчислення векторного добутку після того, як обчислено  . У другому випадку справа зводиться до обчислення скалярного добутку після того, як обчислено  . З розглянутих трьох добутків змішаним є  . Вивченням цього добутку і займемося. Зрозуміло, що чисельно визначає площу паралелограма, побудованого на векторах  і  . Нехай  . Тоді Чисельно  . Але  за означенням векторного добутку, а  , бо вектор проектувався на вектор  . Отже  чисельно можна вважати рівним об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах і із знаком “+” або “-” (рис .2.16). Об’єм, очевидно, буде додатним, якщо  - гострий, а якщо цей кут тупий, то об’єм буде від’ємним. Змішаний добуток, як правило, записують так:  . Змішаний добуток векторів, заданих координатами. Нехай   .
  .
Отже, 
або  . (2.16) 
Рис. 2.16 Висновок. Векторно-скалярний добуток трьох векторів заданих своїми проекціями, дорівнює визначнику третього порядку, складеному з цих проекцій. З формули (2.16), користуючись тим, що при перестановці двох сусідніх рядків визначника його знак змінюється на протилежний і відповідно переставляються множники у мішаному добутку, вірна така рівність:  ,
тобто кругова перестановка трьох множників векторно-скалярного добутку не змінює його величини. Перестановка двох сусідніх множників змінює знак добутку. Із формули (2.16) випливає також, що  . Якщо три вектори  компланарні (паралельні одній і тій же площині), тоді  і, значить,  - необхідна і достатня умова компланарності векторів  і . Цей факт очевидний і з геометричних міркувань. Об’єм паралелепіпеда в цьому випадку дорівнює нулю. Приклад 1. Знайти найкоротшу віддаль між двома прямими, якщо одна з них проходить через точку  паралельно вектору  , а друга проходить через точку  паралельно вектору  (рис.2.17). 
Рис. 2.17 Р о з в ’ я з о к. Побудуємо вектор  і проведемо через точку  пряму  паралельну  , а через точку  пряму  , паралельну прямій  . Тоді прямі і та і визначають собою дві паралельні площини. Віддаль між цими площинами і буде найкоротшою віддаллю між прямими і . На векторах  , і  будуємо паралелепіпед. Його об’єм 
 (куб. од.)
Знайдемо площу основи паралелепіпеда: 
Тоді  (кв. од). Але . Звідси  (л. од.).
Приклад 2. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах  , де і - одиничні взаємно перпендикулярні вектори. Р о з в ’ я з о к. Площа паралелограма дорівнює модулю векторного добутку векторів. Тому знайдемо 
 , бо
 і  .
Далі маємо  . Оскільки і - одиничні взаємно перпендикулярні вектори, то  . Отже,  (кв. од.).
Назва: Скалярний добуток двох векторів, його властивості. Векторний добуток, його властивості. Змішаний добуток трьох векторів
Дата публікації: 2005-03-03 (1028 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
