Математика > Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязані відносно похідної

Дійсно, припустимо, що _____ похідні , тоді

, звідки (5.12).

Припустимо, що , тоді буде необмеженою при умові

(5.13)

Таким чином, криві, підозрілі на особливий розв’язок будуть визначатися з системи

(5.14)

Розв’язок системи (5.14)

=0 (5.15)

дискримінантна крива. Якщо вона задовільняє Д.Р. (5.1) і в кожній точці порушується єдність, то це буде особливий розв’язок.

Приклад 5.2.

(5.16)

, (5.17)

Співвідношення (5ю17) – дискримінантна крива рівняння (5.16). А на ній ми маємо не два а один напрямок поля . В той же час – через неї може проходити не одна .

5.3. Загальний метод введення параметра.

Розглянемо Д.Р. (5.1). Припустимо, що воно допускає параметризацію

(5.18)

Так, що при всіх значеннях параметрів і .

Використовуючи (5.18) і співвідношення ми з Д.Р. (5.1) завжди зможемо привести до Д.Р., яке розв'язане Відносно похідної.

Тому

Візьмемо, наприклад, за незалежну змінну, – за залежну, тоді прийдемо до Д.Р.

(5.19)

Якщо

(5.20)

загальний розв'язок Д.Р. (5.19), то загальний розв'язок Д.Р. (5.1) можна отримати в параметричній формі.

(5.21)

Розглянемо деякі частинні випадки:

А. Д.Р., розв'язані віднлсносно шуканої функції.

Це рівняння має вигляд

(5.22)

За параметри і можна взяти і . Позначимо , тоді

(5.23)

Маємо

Звідки

(5.24)

Нехай – загальний розв'язок Д.Р. (5.24), тоді – загальний розв'язок Д.Р. (5.22).

Д.Р. (5.24) може мати особливий розв'язок , тоді Д.Р. (5.22) може мати особливий розв'язок .

Б. Випадок, коли Д.Р. розв'язане відносно незалежної змінної.

Це рівняння має вигляд

(5.25)

Інтегрується воно аналогічно Д.Р. (5.22). Покладемо . Тоді

Використовуючи співвідношення , отримаємо

(5.26)

Якщо – загальний інтеграл Д.Р. (5.26), то

(5.27)

загальний інтеграл Д.Р. (5.25).

Якщо – особливий рощзв'язок Д.Р.(5.26), то -може бути особливим розв'язком Д.Р. (5.25).

Розглянемо тепер більш прості випадки, коли рівняння можна проінтегрувати.

В. Рівняння Лагранжа.

Це рівняння має вигляд

(5.28)

Воно інтегрується в квадратурах. Покладемо . Тоді

(5.29)

З (5.29) маємо

(5.30)

Д.Р. (5.30) лінійне по

(5.31)

Нехай – розв'язок Д.Р. (5.31). Тоді загальний розв'язок рівняння Лагранжа запишемо в параметричній формі

(5.32)

Особливі розв'язки можуть бути там, де

(5.33)

тобто

(5.34),

де – корені рівняння (5.33).Розв'язок (5.34) може бути частинним або особливим.

Г. Рівняння Клеро.

Це рівняння – частинний випадок рівняння Лагранжа, коли .

(5.35)

Покладемо , тоді

(5.36)

Використовуючи , отримаємо

(5.37)

Рівняння (5.37) розпадається на два

(5.38)

Перше рівняння дає , підставляючи яке в (5.35) будемо мати загальний розав’язок

(5.39)

Друге - , разом з (5.35) утворює параметричні розв’язкі

(5.40)

Розв’язок (5.40) являється особливим, так як він співпадає з _______. Дійсно

звідки

(5.41)

Дискримінантна крива (3.41) співпадає з розв’язком (3.40).

Приклад 5.3.

Розв’язати рівняння Лагранжа.

Покладемо . Маємо ,

,

Отримали лінійне рівняння

Його розв’язок

(5.42)

(5.43)

загальний розв’язок нашого рівняння в параметричній формі. Або, виключаючи :

(5.44)

Знайдемо ті розв’язки, яким відповідають

Перший розв’язок – офівфісобливий, другий – частинний.

Приклад 5.4.

Це рівняння Клеро. Його загальний розв’язок –

1	2	3

Назва: Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязані відносно похідної
Дата публікації: 2005-03-03 (958 прочитано)