Математика > Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязані відносно похідної
Запишемо дискримінантну криву 
Звідки  - особливий розв’язок, так як через цей розв’язок проходить ще розв’язок, який міститься в загальному при  . 4. Неповні рівняння. а). Д.Р. які містять тільки похідну. Це рівняння вигляду  (5.45)
Рівняння (5.45) може мати скінчену або нескінчену кількість дійсних розв’язків.  (5.46)
де  – деякі числа, задовільняючі функцію  . Інтегруємо (5.46)  (5.47)
Так як  то  (5.48)
загальний інтеграл Д.Р. (5.45). Таким чином при таких припущеннях  Д.Р. (5.45) є системою прямих ліній, які можна записати у вигляді (5.48). При цьому в (5.48) можуть входити комплексні розв’язки Д.Р. Приклад 5.5. Розв’язати  . Згідно (5.48)  – загальний інтеграл. Однак у нього крім дійсного розв’язку  , входять розв’язки комплексного Д.Р.  б) Д.Р., які не містять шуканої функції мають вигляд  (5.49)
Якщо (5.49) можна розв’язати відносно похідної  (5.50)
то  (5.51)
являється загальним інтегралом Д.Р. (5.49). Якщо ж розв’язати відносно  не можна, а допускається параметризація  (5.52)
тобто  (5.53)
Тоді загальний розв’язок знаходять в параметричній формі  (5.54)
Якщо Д.Р. (5.49) має вигляд  (5.55)
тоді це рівняння легко параметризується  .В частинному випадку  . Загальний розв’язок запишеться в формі  (5.56)
Приклад 5.6. Зайти загальний розв’язок рівняння  . Вводимо параметризацію .  ,  , 
Маємо 
Загальний розв’язок в параметричній формі. в) Д.Р., які не містятьнезалежної змінної. Це рівняння вигляду  (5.57)
Якщо рівняння (5.57) розв’язане відносно , тобто  (5.58)
то  (5.59)
Являється загальним інтегралом Д.Р. (5.57). Особливими розв’язками можуть бути криві  , де  – корені рівняння  (або  ). Якщо Д.Р. (5.57) не можна розв’язати відносно , але воно допускає параметризацію  (5.60)
то  (5.61)
Загальний розв’язок Д.Р. (5.57) в параметричній формі. Приклад 5.7. Розв’язати  . Введемо параметризацію  . 
звідки 
зашальний розв’язок нашого рівняння. г) Узагальнено однорідні рівняння. Д.Р. назвемо узагальнено однорідним, якщо ліва частина являється однорідною функцією аргументів  , яким відповідають величини  -го,  -го і  виміру, тобто  (5.62)
Зробимо заміну  (5.63)
де  – нова незалежна змінна, – нова шукана функція. Маємо 
тобто  . З іншої сторони  (5.64)
Підставимо (5.63),(5.64) в Д.Р. (5.1) 
отримане рівняння  (5.65)
не містить незалежної змінної .
Назва: Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязані відносно похідної
Дата публікації: 2005-03-03 (958 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
