Математика > Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Приклади первісних, що не є елементарними функціями
Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Приклади первісних, що не є елементарними функціямиСторінка: 1/2
План Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції Інтеграли вигляду  Інтеграли вигляду  Інтеграли вигляду  · Інтеграли вигляду  Інтеграли вигляду ( - ціле, додатне число) Інтеграли вигляду  8.3.9. Інтегрування трансцендентних функцій а) Усі інтеграли вигляду  інтегруються в замкненому вигляді. Тут  - символ раціональної функції. Справді, підстановка  зводить цей інтеграл до вигляду  Приклад.  За допомогою заміни інтеграл перетворюється в такий : 
б)  Як уже зазначалося, інтеграли  зводяться до розглядуваного. Тому інтеграл  нас цікавить не тільки сам по собі, а й у зв’язку з тим, що й інші інтеграли зводяться до нього. Усі інтеграли типу  інтегруються в замкненому вигляді. Підстановка  перетворює інтеграл у такий: тобто до інтеграла, розглянутого в п.9.8. Ймовірно, що способи інтегрування заданого інтеграла в розумінні більшої або меншої трудності залежатимуть від характеру функції  : парна чи непарна вона за змінною  або  , або і  і , або, можливо, і не володіє цими властивостями. Нехай  Очевидно, що в цьому випадку її можна подати
у формі  Якщо  то 
Тому 
Звідси випливає така підстановка:  ,
тобто  - раціональна функція  . Отже, якщо в разі заміни  на  підінтегральна функція змінює знак, то доцільно є підстановка  . Цілком аналогічно, якщо в разі заміни  на  то доцільною є
підстановка  . Розглянемо тепер випадок  тобто функціяє парною як за , так і за . Очевидно, що  .Якщо тепер знаки i замінити на протилежні, то , тобто  є парною за , тому  . Вважаючи, що  , одержимо
Підстановка  зведе інтеграл до вигляду  Отже, у випадку  доцільною є заміна змінної  . Оскільки  ,  , (8.26) то  , тобто підстановка  перетворить інтеграл до вигляду  .
Якщо не задовольняє жодну із розглянутих умов, то  інтегрується за допомогою підстановки  . Практично інтегруючи функцію  перш за все варто встановити, чи задовольняє вона хоча б одну з умов  
чи ні. Лише тоді, коли вона не задовольняє жодну, доцільно використати заміну , яку називають універсальною. Приклад. 1.  Оскільки в разі заміни на  і на  підінтегральна функція не змінює знака, то підстановка зведе інтеграл до вигляду 
Приклад 2.  . Цей інтеграл не задовольняє жодної з указаних умов. Тому слід використати підстановку , яка зведе інтеграл до вигляду  .
Якщо  , то  .
Якщо  , то  
При  . При  . Приклад 3.  . Підстановка  . З її допомогою інтеграл перетвориться в  .
в) Усі інтеграли вигляду  де  - раціональна функція, інтегруються в замкненому вигляді. Цей висновок випливає з п.9.4.
г) Інтеграли вигляду   ( - ціле, додатне число) можна проінтегрувати відповідно за допомогою підстановок 
В результаті матимемо 
Аналогічно обчислюється і другий інтеграл. д) Інтеграли вигляду де - цілі невід’ємні числа, обчислюються, використовуючи формули тригонометрії для пониження степеня:
Назва: Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Приклади первісних, що не є елементарними функціями
Дата публікації: 2005-03-03 (557 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
