Математика > Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Приклади первісних, що не є елементарними функціями
 (8.27)
Тоді  Піднісши до степеня і розкриваючи дужки, одержимо інтеграли, що містять  в парних і непарних степенях. Інтеграли з непарними степенями обчислюються, як показано у випадку б). Парні показники степенів знову понижуємо за формулами (9.13). Продовжуючи так, дійдемо до інтегралів  які легко обчислюються. Якщо хоча б один з показників  від’ємний, то необхідно робити підстановку  (або  ). Інтеграли вигляду  можна проінтегрувати, застосовуючи формулу Муавра. Маємо:  (8.28)
Звідси  Далі обчислимо:  
Аналогічно  
Тепер уже інтегрування двох інтегралів здійснюється легко для будь-яких скінчених цілих  . е) Усі інтеграли вигляду 
можуть бути представлені в замкненому вигляді, якщо функція  є цілою раціональною функцією відносно синусів і косинусів величин, що стоять під знаком функції, а всі константи є дійсними числами. Оскільки ціла раціональна функція будується лише на основі дій додавання, віднімання і множення ( зокрема піднесення до цілого додатного степеня ) , то кожний добуток двох множників можна подати у вигляді суми двох доданків на основі формул  (8.29)
Застосовуючи формули (8.29) послідовно до кожного члена, що є добутком кількох множників, функцію можна подати як лінійну комбінацію синусів і косинусів, аргументи яких є лінійними функціями  . Кожна така лінійна комбінація інтегрується елементарно. Приклад.   є) Усі інтеграли виглядів  де  є довільними дійсними константами, а  – довільний поліном, інтегруються у замкненому вигляді. Цей висновок випливає з п.8.3.8. ж) Інтеграли вигляду  за допомогою підстановки  зводяться до інтегралів від біномінальних диференціалів  , які вже були розглянуті в п.8.3.8 є). Там також було з’ясовано, в яких випадках інтеграл від біномінального диференціала інтегрується в замкненому вигляді. Отже, інтеграл виражається через елементарні функції, якщо 1) - ціле число; 2) - ціле число; 3) - ціле число.
Назва: Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Приклади первісних, що не є елементарними функціями
Дата публікації: 2005-03-03 (557 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
