ћатематика > ≤нтегруванн¤ рац≥ональних функц≥й
≤нтегруванн¤ рац≥ональних функц≥й—тор≥нка: 1/3
ѕлан ≤нтегруванн¤ рац≥ональних функц≥й ѕрост≥ рац≥ональн≥ дроби Ќеправильн≥ рац≥ональн≥ дроби ≤нтегруванн¤ правильного рац≥онального дробу. ‘ормула ќстроградського 1. ≤нтегруванн¤ рац≥ональних дроб≥в ѕрост≥ рац≥ональн≥ дроби ѕростими рац≥ональними дробами називаютьс¤ так≥ чотири види дроб≥в :  ,
де  Цд≥йсн≥ числа ;  Ц ц≥ле число ,  тобто  не розкладаЇтьс¤ на л≥н≥йн≥ множники в множин≥ д≥йсних чисел . –озгл¤немо тепер ≥нтеграли в≥д цих дроб≥в : 
в)  ; г)  ÷ей др≥б може бути зведений до ≥ншого вигл¤ду вид≥ленн¤м у знаменнику повного квадрата, а в чисельнику пох≥дноњ в≥д знаменника, помноженоњ на де¤ку константу . ћаЇмо   .
ќтже, 
якщо позначити  , то одержимо
то одержимо “ому  
ўоб одержати к≥нцевий результат, досить повернутис¤ до зм≥нноњ  ≥ зам≥нити  та  њх значенн¤ми. г) „етвертий тип простого дробу за допомогою тих самих перетворень, що й трет≥й, зведетьс¤ до вигл¤ду  “ому
ќстанн≥й же ≥нтеграл може бути про ≥нтегрований за рекурентною формулою (9.3). Ќеправильн≥ рац≥ональн≥ дроби –ац≥ональний др≥б маЇ вигл¤д  , де  ≥  - пол≥номи за степен≥в, в≥дпов≥дно  ≥  . якщо степ≥нь пол≥нома  не менший за степ≥нь пол≥нома  , тобто  то др≥б називаЇтьс¤ неправильним. якщо ж степ≥нь пол≥нома менший, н≥ж степ≥нь пол≥нома  , то др≥б називаЇтьс¤ правильним. ”с¤кий неправильний др≥б може бути поданий сумою де¤кого пол≥нома (ц≥ла частина дробу) степен¤  ≥ правильного дробу. ÷≥лу частину неправильного дробу можна вид≥лити пр¤мим д≥ленн¤м чисельника на знаменник. ƒ≥ленн¤ це продовжуЇтьс¤ доти, поки остача в≥д д≥ленн¤ (це буде де¤кий пол≥ном або просто число) матиме менший степ≥нь, н≥ж степ≥нь пол≥нома, що Ї д≥льником. ѕриклад 1. ¬ид≥лити ц≥лу частину дробу  
ќск≥льки  ≥  , то др≥б неправильний. ћи можемо безпосередньо вид≥лити ц≥лу частину, додавши ≥ в≥дн¤вши в чисельнику 8: 
ѕриклад 2. ¬ид≥лити ц≥лу частину дробу 
ќтже,  .
≤нтегруванн¤ правильного рац≥онального дробу якщо др≥б неправильний, то розклавши його на суму ц≥лоњ частину ≥ правильного рац≥онального дробу, будемо ≥нтеграл розгл¤дати ¤к суму ≥нтеграл≥в. ≤нтегруванн¤ ц≥лоњ частини (пол≥нома степен¤  ) не представл¤Ї н≥¤ких труднощ≥в. “ому розгл¤немо саме ≥нтегруванн¤ правильних рац≥ональних дроб≥в. —аме визначенн¤ простих дроб≥в вказуЇ на те, що перш н≥ж розкладати правильний др≥б на прост≥, треба знаменник правильного дробу розкласти на прост≥ множники. ѕ≥д простими множниками розум≥тимемо множники вигл¤ду  ≥  Ќехай знаменник правильного дробу маЇ вигл¤д  ,
де вс≥  - д≥йсн≥ числа. “ут коеф≥ц≥Їнт при  вважаЇмо таким, що дор≥внюЇ одиниц≥, ¤ка не зменшуЇ загальност≥ м≥ркувань, бо у випадку на¤вност≥ при коеф≥ц≥Їнта  завжди можна чисельник ≥ знаменник дробу под≥лити на  «г≥дно з основною теоремою алгебри пол≥ном Ц го степен¤ маЇ р≥вно корен≥в на множин≥ комплексних чисел. « алгебри в≥домо також, що коли пол≥ном з д≥йсними коеф≥ц≥Їнтами маЇ комплексний кор≥нь вигл¤ду  , то в≥н маЇ ≥ спр¤жений йому кор≥нь  , тобто комплексн≥ корен≥ вход¤ть у пол≥ном комплексно спр¤женими парами. «г≥дно з теоремою ¬≥Їта пол≥ном розкладаЇтьс¤ на множники вигл¤ду  , де  - корен≥ пол≥нома, тобто 
Ќехай  ≥  - комплексно спр¤жен≥ корен≥. “од≥ њм в≥дпов≥датиме в розклад≥ два множники  ≥  . ѓх добуток 
ќтже, кожн≥й спр¤жен≥й пар≥ комплексних корен≥в в≥дпов≥даЇ множник вигл¤ду . —еред корен≥в пол≥нома можуть ви¤витис¤ кратн≥. якщо врахувати це, то розклад пол≥нома на множники запишетьс¤ так:  (8.21)
де  - кратност≥ д≥йсних корен≥в,  - кратност≥ пар комплексно спр¤жених корен≥в. Ќехай правильний др≥б маЇ вигл¤д  , де  ≥ Ц степен≥ пол≥ном≥в  ≥  ≥  розкладаЇтьс¤ на множники так, ¤к це показано в (8.21). ” курс≥ алгебри доводитьс¤, що кожному простому д≥йсному кореню  в≥дпов≥даЇ простий др≥б  , а  - кратному в≥дпов≥даЇ сума  простих дроб≥в: 
ожн≥й пар≥ комплексно спр¤жених корен≥в  в≥дпов≥даЇ простий др≥б вигл¤ду  , де  кожн≥й  - кратн≥й пар≥ комплексно спр¤жених корен≥в в≥дпов≥даЇ сума простих дроб≥в:
Ќазва: ≤нтегруванн¤ рац≥ональних функц≥й
ƒата публ≥кац≥њ: 2005-03-03 (810 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
