ћатематика > ≤нтегруванн¤ рац≥ональних функц≥й

–озгл¤немо конкретний приклад розкладу на прост≥ дроби правильного рац≥онального дробу

в ¤кому знаменник уже розкладений на множники.  орен¤ми знаменника Ї однократний кор≥нь 1, двократний кор≥нь 2, двократна пара комплексно спр¤жених корен≥в (корен≥ р≥вн¤нн¤ ), однократна пара комплексно спр¤жених корен≥в (корен≥ р≥вн¤нн¤ ).

ќтже , заданий др≥б може бути поданий ¤к

де - нев≥дом≥ коеф≥ц≥Їнти , ¤к≥ треба обчислити, виход¤чи з того, що написана р≥вн≥сть Ї тотожн≥стю. ѓњ можна записати , зв≥льнившись в≥д знаменник≥в:

якщо прир≥вн¤Їмо коеф≥ц≥Їнти за однакових степен≥в у прав≥й ≥ л≥в≥й частинах одержаноњ тотожност≥ п≥сл¤ того, ¤к у прав≥й частин≥ будуть виконан≥ д≥њ ≥ згрупован≥ члени з однаковими степен¤ми , то одержимо систему девТ¤ти л≥н≥йних р≥вн¤нь ≥з девТ¤тьма нев≥домими в≥дносно нев≥домих коеф≥ц≥Їнт≥в, ¤к≥ й знайдемо ≥з вказаноњ системи р≥вн¤нь. ” курс≥ алгебри доведено, що необх≥дна система р≥вн¤нь дл¤ визначенн¤ нев≥домих коеф≥ц≥Їнт≥в завжди маЇ Їдиний розвТ¤зок .

јле можна зробити ≥накше : в написану тотожн≥сть зам≥сть по черз≥ п≥дставити корен≥ знаменника дробу ( хоч можна зам≥сть п≥дставл¤ти дов≥льн≥ числа.). ¬ результат≥ одержимо ш≥сть нев≥домих коеф≥ц≥Їнт≥в. ќтже, залишитьс¤ знайти ще три коеф≥ц≥Їнти .

ѕри , а при , при матимемо , «в≥дси д≥стаЇмо систему р≥вн¤нь з ¤коњ знаходимо . ѕри аналог≥чно знайдемо . ќтже, залишилис¤ нев≥домими . ѓх можна знайти, п≥дставл¤ючи в тотожн≥сть зам≥сть , наприклад, . ≤з врахуванн¤м значень з системи трьох л≥н≥йних р≥вн¤нь з трьома нев≥домими можна визначити .

якщо безпосередньо скористатись тотожн≥стю ≥ зр≥вн¤ти коеф≥ц≥Їнти за однакових степен≥в у прав≥й ≥ л≥в≥й частинах, то одержимо таку систему р≥вн¤нь: ѕ≥сл¤ визначенн¤ вс≥х нев≥домих коеф≥ц≥Їнт≥в ц≥Їњ системи р≥вн¤нь вже легко буде про≥нтегрувати заданий др≥б, користуючись формулами простих рац≥ональних дроб≥в (п. 9.7.1).

якщо знаменник рац≥онального дробу маЇ лише прост≥ корен≥ (д≥йсн≥ або комплексн≥), то нев≥дом≥ коеф≥ц≥Їнти найпрост≥ше можна знайти п≥дстановкою корен≥в знаменника в тотожн≥сть (такого самого типу, що ≥ у попередньому приклад≥) зам≥сть .

ѕриклад. ќбчислити ≥нтеграл:

– о з в С ¤ з о к. –озкладемо знаменник на множники

“од≥ розкладемо п≥д≥нтегральний др≥б на прост≥ дроби:

=

ќдержимо

≥

¬ид≥ленн¤ рац≥ональноњ частини ≥нтеграла.

ћетод ќстроградського

–озгл¤немо правильний рац≥ональний др≥б . ѕри розклад≥ його на прост≥ дроби одержимо таку суму простих дроб≥в:

(8.22)

ѕерша група доданк≥в у ц≥й сум≥ в результат≥ ≥нтегруванн¤ даЇ

,

тобто ≥ррац≥ональний вираз. ƒруга група доданк≥в, ¤кщо њњ про≥нтегрувати, буде такою:

.

“рет¤ група доданк≥в п≥сл¤ ≥нтегруванн¤:

.

¬икористовуючи рекурентну формулу, зведетьс¤ до суми правильного рац≥онального дробу ≥ з де¤ким числовим множником . якщо (8.22) про≥нтегрувати ≥ додати вс≥ дроби рац≥ональноњ частини ≥нтеграла, одержимо правильний др≥б вигл¤ду , де

, а - пол≥ном, степ≥нь ¤кого буде меншим, н≥ж степ≥нь пол≥нома в знаменнику. “ому

, (8.23)

де - теж рац≥ональний др≥б, ус≥ множники знаменника ¤кого

або л≥н≥йн≥, або квадратн≥ в першому степен≥, або њх комб≥нац≥њ, причому .

≤з (8.23) знаходимо

(8.24)

“ут пол≥номи ≥ - нев≥дом≥, степен≥ њх треба брати на одиницю меншими, н≥ж степен≥ в знаменнику, при цьому њх треба записувати з невизначеними коеф≥ц≥Їнтами, ¤к≥ знаход¤ть так само, ¤к ≥ в раз≥ розкладу рац≥онального дробу на прост≥ дроби. јле перш, н≥ж зв≥льнитис¤ в≥д дроб≥в у (8.24), треба скоротити др≥б, одержаний в≥д диференц≥юванн¤, на сп≥льн≥ множники чисельника ≥ знаменника, ¤кщо у знаменнику були степен≥ множник≥в б≥льш≥ за одиницю. ” вс≥х випадках п≥сл¤ диференц≥юванн¤ знаменник дробу повинен дор≥внювати .

ѕриклад.

.

– о з в С ¤ з о к. ѕ≥д≥нтегральну функц≥ю, користуючись формулою (8.24), подамо у вигл¤д≥

де - нев≥дом≥ числа.

–озгл¤немо др≥б ,

де .

“од≥

“ут зд≥йснено скороченн¤ на . якщо цього не зробити, то дал≥ виникнуть труднощ≥, викликан≥ тим, що отримаЇмо систему р≥вн¤нь, в ¤к≥й буде б≥льше р≥вн¤нь, н≥ж нев≥домих коеф≥ц≥Їнт≥в.

ƒл¤ визначенн¤ нев≥домих коеф≥ц≥Їнт≥в одержимо таку систему р≥вн¤нь:

1	2	3

Ќазва: ≤нтегруванн¤ рац≥ональних функц≥й
ƒата публ≥кац≥њ: 2005-03-03 (810 прочитано)