Математика > Неперервність функції в точці і в області.Дії над неперервними функціями

Неперервність функції в точці і в області.Дії над неперервними функціями

План

Неперервність функції в точці та в області.

Дії над неперервними функціями.

Основні властивості функцій, неперервних на відрізу, в обмеженій замкнутій області.

Точки розриву та їх класифікація.

Павутинні моделі ринку.

1. Неперервність функцій.

Розриви функції та їх класифікація

Означення 1. Функція називається неперервною в точці :

1) якщо функція , визначена в точці ;

2) якщо існує границя в точці ;

3) якщо границя функції дорівнює значенню функції в цій точці, тобто .

Разом всі ці умови є необхідними і достатніми для того, щоб функція була неперервною в точці . В дальшому будемо користуватися і таким означенням неперервності функції.

Означення 2. Функція називається неперервною в точці , якщо для будь-якого як завгодно малого числа існує таке число , що для всіх точок , які задовольняють нерівності , виконується нерівність .

На практиці при дослідженні функції на неперервність часто користуються означенням неперервності функції, яке базується на понятті приросту функції в точці.

Нехай функція визначена в усіх точках деякого проміжку . Візьмемо дві довільні точки з цього проміжку

і , де .

Тоді число називається приростом аргументу, а число - приростом функції в точці .

Нехай в деякій (відкритій) області задана функція двох змінних . Візьмемо довільну точку цієї області і надамо приросту , залишаючи значення незмінним.

При цьому функція одержить приріст

, який називається частковим приростом цієї функції за .

Аналогічно, вважаючи постійною і надаючи приросту , одержимо частинний приріст от функції за : .

Приріст

називається повним приростом функції в точці , відповідним приростfм і незалежних змінних.

Означення 3. Функція називається неперервною в точці , якщо

.

Легко бачити, що наведені означення неперервності функції в точці є еквівалентні між собою в тому розумінні, що коли функція неперервна в точці за яким-небудь одним означенням, то вона неперервна і за рештою означень та навпаки.

Будемо називати функцію неперервною в області (замкнутій чи незамкнутій), якщо вона неперервна в кожній її точці. При цьому неперервність в будь-якій граничній точці області визначається так: функція неперервна в граничній точці , якщо для будь-якого додатного числа існує число таке, що для всіх точок області , які задовольняють умові , виконується нерівність .

Спираючись на теореми про границі і на означення неперервності легко переконатися в такому.

Теорема. Сума, різниця, добуток і частка від ділення двох неперервних функцій також неперервна (для частки – за винятком тих значень аргументів, що перетворюють на нуль знаменник), тобто, якщо і неперервні в точці , то в цій точці будуть неперервними і функції

Неперервність складної функції, неперервність оберненої функції. Сформулюємо відповідні теореми для функції однієї змінної.

Нехай - деяка функція аргументу , а - деяка функція аргументу , при цьому область означення першої функції має спільну частину з областю значень другої функції. За цих умов на тій частині області значення функції , яка відповідає , буде означена складна функція .

Нехай в деякій точці функція неперервна функція аргументу , а у відповідній точці функція неперервна як функція аргументу . Інакше,

,

.

Тоді

,

що доводить теорему.

Теорема. Якщо функція неперервна в точці , а функція неперервна в точці , то й функція неперервна в точці .

1	2	3	4

Назва: Неперервність функції в точці і в області.Дії над неперервними функціями
Дата публікації: 2005-03-03 (1041 прочитано)