Математика > Неперервність функції в точці і в області.Дії над неперервними функціями

Отже, за означенням, будь-яка внутрішня точка проміжку , де визначена функція , є точкою розриву функції, якщо в цій точці порушується хоча б одна з трьох умов неперервності. Тому залежно від того, яка з цих умов не виконується, точки розриву поділяють на два роди.

Означення. Точка розриву функції називається точкою розриву першого роду, якщо в цій точці існують скінченні лівостороння і правостороння границі.

Якщо границі рівні між собою, то точка називається точкою усувного розриву.

Якщо границі скінченні, але не рівні, то точка називається точкою розриву типу “ стрибка “.

Означення. Точка розриву функції називається точкою розриву другого роду, якщо в цій точці не існує хоча б одна з односторонніх границь або дорівнює безмежності.

Приклади.

1. .

Функція визначена на всій числовій осі, за винятком точки . Знайдемо лівосторонню і правосторонню границі в цій точці:

Отже, одна функція в точці має розрив першого роду.

2.

Функція означена при всіх значеннях , крім . Односторонні границі:

Отже, точка є точкою розриву другого роду.

3.

В точці функція не визначена, але вона має

скінчену границю в цій точці: . Це є усувний розрив, тому що функція

неперервна в точці .

2. Властивості функцій,

неперервних у замкнених областях

Ці властивості сформулюємо як теореми і дамо деякі пояснення, ілюструючи їх для функції , неперервної на відрізку .

Теорема. Якщо функція означена і неперервна в обмеженій замкнутій області , то функція обмежена, тобто існує число таке, що для всіх точок області .

Теорема. Функція , неперервна в обмеженій замкнутій області , приймає в цій області своє найбільше і найменше значення, тобто

.

Смисл цієї теореми для функції , неперервної на відрізку , наочно ілюструється на рис. 5.2.

Теорема. Функція , неперервна в обмеженій замкнутій області , між будь-якими двома своїми значеннями приймає всі проміжні значення, тобто, якщо , де і - якість значення функції в області , то в цій області є точка , в якій .

Смисл цієї теореми для функції чітко ілюструється на рис. 5.3.

Наслідок. Якщо функція неперервна в обмеженій замкнутій області і в точках цієї області , то в існує точка така, що .Смисл цього твердження для функції (рис.5.4).

Доведення перелічених теорем в нашому курсі ми не розглядаємо. Лише зауважимо, що для функцій, неперервних в незамкнутих або необмежених областях, наведені в цих теоремах властивості можуть не мати місця.

Поняття неперервності функції в точці, в області та перелічені властивості неперервних функцій двох змінних узагальнюються на функції трьох і більшого числа змінних.

Рис.5.2 Рис.5.3 Рис.5.4

3. Павутинні моделі ринку

Властивість неперервної функції на замкнутому проміжку (теорема про існування кореня функції) знаходить застосування в моделях ринку. Як відомо, дві основні категорії ринкових відношень – це попит і пропозиція. Обидві ці категорії залежать від багатьох факторів, серед яких головний – це ціна товару. Нехай ціна товару, об’єм попиту, величина пропозиції (від перших букв англійських слів price – ціна, demand – попит, supply – пропозиція ). При малих маємо (попит перевищує пропозицію), при великих навпаки, Вважаючи і неперервними функціями, приходимо до висновку, що існує така ціна для якої тобто попит дорівнює пропозиції. Ціна рівноважною, попит і пропозиція при цій ціні також називаються рівноважними.

Встановлення рівноважної ціни – одна з головних задач ринку. Розглянемо просту модель пошуку рівноважної ціни – так звану павутинну модель. Вона пояснює феномен циклів зміни об’ємів продажі і цін, що регулярно повторюються, наприклад, сільськогосподарських товарів.

Припустимо, що рішення про величину об’єму виробництва приймається в залежності від ціни товару в попередній період часу. Так, площу, що відводиться під сільськогосподарську культуру, вибирають в залежності від її ціни, що склалася в попередній рік.

Розглянемо ситуацію, що зображена на рис.5.5.

Нехай в початковій точці пропозиція товару має значення і вибране так в залежності від ціни товару в попередній період. Оскільки ця ціна більша за рівноважну, то на кривій попиту їй відповідає об’єм покупок Виробнику, виходячи із такої інформації про стан ринку, доводиться опустити ціну товару до величини Ціна нижче рівноважної, тому на ринку збільшується попит до величини На кривій пропозиції цій величині відповідає ціна пропозиції і т. д. В цьому випадку спіраль збігається до точки ринкової рівноваги

1	2	3	4

Назва: Неперервність функції в точці і в області.Дії над неперервними функціями
Дата публікації: 2005-03-03 (1041 прочитано)