ћатематика > Ќеск≥нченно мал≥ та неск≥нченно велик≥ величини

Ќеск≥нченно мал≥ та неск≥нченно велик≥ величини

ќзначенн¤ 1. «м≥нна величина х називаЇтьс¤ неск≥нченно ма≠лою, ¤кщо в процес≥ њњ зм≥ни наступить такий момент, почи≠наючи з ¤кого, абсолютна величина зм≥нноњ х стаЇ ≥ залишаЇть≠с¤ менше будь-¤кого, ск≥льки завгодно малого, наперед заданого додатного числа Ї, тобто .

Ќеск≥нченно мал≥ величини найчаст≥ше позначають л≥тера≠ми α,β,γ.

Ќаприклад, величина при Ї неск≥нченно малою.

«ауваженн¤ 1. Ќеск≥нченно мала величина Ї зм≥нною величиною. јле, ¤кщо пост≥йну величину ќ розгл¤дати ¤к зм≥нну величину, що приймаЇ одне й те ж значенн¤, то в цьому розум≥нн≥ вона Ї неск≥нченно малою, тобто ¤кщо α=0, то нер≥вн≥сть |а|< ви≠конуЇтьс¤ дл¤ будь-¤кого > ќ,

∆одну ≥ншу пост≥йну величину, ¤кою би малою вона не була (наприклад, розм≥р електрона), не можна назвати неск≥нченно малою.

–озгл¤немо де¤к≥ властивост≥ неск≥нченно малих величин.

“еорема 1. јлгебрањчна сума будь-¤кого ск≥нченного числа не≠ск≥нченно малих величин Ї величина неск≥нченно мала.

ƒоведенн¤. Ќехай задано k неск≥нченно малих величин α1, α2,...,αk. ƒоведемо, що њх алгебрањчна сума (α1 ± α2 ± ... ± αk) буде величиною неск≥нченно мстою. ¬≥зьмемо ск≥льки завгодно мале > 0. «г≥дно з означенн¤м неск≥нченно малих в процес≥ њх зм≥ни наступить такий момент, починаючи з ¤кого будуть ви≠конуватис¤ нер≥вност≥:

«в≥дси, використовуючи властивост≥ модул¤, одержимо:

|α1±α2+...±αk||α1| + |α2| + ... + |αk|<+ + ... + = ε

ќтже, маЇмо: |α1±α2+...±αk| ε

÷¤ нер≥вн≥сть, зг≥дно з означенн¤м 1, означаЇ, що (αl±α2±...±αk) Ї неск≥нченно малою величиною. “еорема до≠ведена.

“еорема 2. ƒобуток обмеженоњ величини на неск≥нченно малу величину Ї величина неск≥нченно мала.

ƒоведенн¤. Ќехай у Ч обмежена величина, α Ч неск≥нченно мала. ƒл¤ обмеженоњ величини у ≥снуЇ таке число ћ, що |у| ћ. «г≥дно з означенн¤м неск≥нченно малоњ в процес≥ зм≥нюванн¤ a наступить такий момент, починаючи з ¤кого буде виконуватис¤ нер≥вн≥сть < Ч дл¤ будь-¤кого ε > 0. “ому, починаючи з де¤кого моменту, буде виконуватись нер≥вн≥сть

÷¤ нер≥вн≥сть означаЇ, що у-а Ї величиною неск≥нченно ма≠лою, що ≥ треба було довести.

Ќасл≥док 1. ƒобуток пост≥йноњ величини на неск≥нченно малу Ї ве≠личина неск≥нченно мала.

Ќасл≥док 2. ƒобуток ск≥нченноњ к≥лькост≥ неск≥нченно малих вели≠чин Ї величина неск≥нченно мала.

ƒ≥йсно, пост≥йн≥ та неск≥нченне мал≥ величини Ч обмежен≥ величини, тому дл¤ них маЇ м≥сце твердженн¤ теореми 2.

ќзначений 2. «м≥нна величина х називаЇтьс¤ неск≥нченно ве≠ликою, ¤кщо а процес≥ њњ зм≥ни наступиш такий момент, почи≠наюча з ¤кого абсолютна величина х стаЇ ≥ залишаЇтьс¤ б≥льше будь-¤кого, ск≥льки завгодно великого, наперед заданого додат≠ного числа N, тобто >N.

Ќаприклад, величина 10n при Ї величина неск≥нченно велик≥.

ћ≥ж неск≥нченно великими ≥ неск≥нченно малими величинами ≥снуЇ простий зв'¤зок: ¤кщо х неск≥нченно велика величина, то Ч неск≥нченно мала, ≥ навпаки, ¤кщо у Ч неск≥нченно мала ≥ у0, то буде неск≥нченно великою величиною.

“ому можна довести, що алгебрањчна сума ск≥нченноњ к≥лькост≥ неск≥нченно великих величин буде величиною неск≥нченно великою, добуток неск≥нченно великоњ величини на обмежену величину також буде неск≥нченно великою величиною.

ƒ≥ленн¤ неск≥нченно малих тa неск≥нченно великих величин поки що не визначено ≥ буде розгл¤нуто дал≥, п≥сл¤ визначенн¤ границ≥ зм≥нноњ величини.

√раниц¤ зм≥нноњ та њњ властивост≥

≤з вс≥Їњ множини зм≥нних величин вид≥лимо так≥, процес зм≥ни ¤ких в≥дбуваЇтьс¤ особливим чином, що дозвол¤Ї назвати њд≥ величини пр¤муючими до границ≥.

ѕон¤тт¤ границ≥

ќзначений 3. ѕост≥йна величина а називаЇтьс¤ границею зм≥нноњ величини х, ¤кщо абсолютна величина р≥зниц≥ х - а Ї ве≠личиною неск≥нченно малою, тобто |х - а| < ε.

якщо число а Ї границею зм≥нноњ х, то кажуть, що х пр¤муЇ до границ≥ а ≥ позначають так: lim х = а або х→ а.

« цього означенн¤ границ≥ випливаЇ, що границ¤ неск≥нчен≠но малоњ величини дор≥внюЇ нулю, тобто lim α = 0 або а→0.

Ќеск≥нченно велика величина х границ≥ не маЇ, але умовно вважають, що границ¤ неск≥нченно великоњ величини Ї ∞, тоб≠то |х| → ∞ або lim x = ±∞.

≤з означенн¤ 3 випливаЇ: ¤кщо в процес≥ своЇњ зм≥ни зм≥нна величина маЇ границю, то лише одну, а сама зм≥нна величина в≥др≥зн¤Їтьс¤ в≥д своЇњ границ≥ на неск≥нченно малу величину, тобто х = а + α. —аме цей факт в математичному анал≥з≥ часто використовуЇтьс¤.

“епер розгл¤немо границю р≥зновид≥в зм≥нноњ величини Ч посл≥довност≥ та функц≥њ,

ќзначенн¤ 4. „исло а називаЇтьс¤ границею посл≥довност≥ х1, x2,..., хn ¤кщо дл¤ будь-¤кого наперед заданого, ск≥льки завгодно малого ε > 0 ≥снуЇ такий номер N, що дл¤ ус≥х n >N виконуЇтьс¤ нер≥вн≥сть .

ѕозначають границю посл≥довност≥ так:

l≥m хn = a або xn → а при n → ∞

¬≥дм≥тимо, що номер N залежить в≥д ε ≥ найчаст≥ше в≥н зро≠стаЇ, коли ε зменшуЇтьс¤.

ќзначенн¤ 5. „исло ј називаЇтьс¤ границею функц≥њ у =f(x) при x→ x0 , ¤кщо дл¤ будь-¤кого наперед заданого, ск≥льки зав≠годно малого ε > 0 знайдетьс¤ таке число >0, що дл¤ ус≥х x, в≥дм≥нних в≥д х0 i ¤к≥ задовольн¤ють нер≥вн≥сть, виконуЇтьс¤ нер≥вн≥сть | f(x) - A|<ε.

¬≥дм≥тимо, що залежить в≥д ε ≥ найчаст≥ше зменшуЇтьс¤, коли зменшуЇтьс¤ ε.

ѕокажемо на граф≥ку (ћал. 1), ¤к зд≥йснюЇтьс¤ пр¤муванн¤ функц≥њ f(х) до границ≥ ј. ¬≥дклавши на ос≥ 0у ε-ок≥л точки ј, знайдемо пром≥жок (х0-,

х0-) ос≥ 0х, дл¤ ус≥х точок ¤кого значенн¤ функц≥њ f(х) не виходить ≥з смуги завширшки 2ε. ≤з та в≥зьмемо менше ≥ позначи≠мо його. “епер дл¤ ус≥х х, таких, що |х - x0| < викону≠Їтьс¤ нер≥вн≥сть |f(х) - A| < ε.

мал.1.

«ауваженн¤ 5. якщо функц≥¤ у = f(х) маЇ границею числа ј1, лише при умов≥, що x→x0 зл≥ва, то використовують такий запис:

,

а число ј1 називають одноб≥чною границею функц≥њ у = f(x) зл≥ва. якщо число ј2 Ї границею функц≥њ у =f(х) при х→х0 справа, то використовують запис:

,

а число ј2 називають одноб≥чною границею функц≥њ у = f(х) справа. ÷i границ≥ функц≥њ називають одноб≥чними.

ƒл¤ ≥снуванн¤ границ≥ ј функц≥њ f(х) i точц≥ х0 необх≥дно ≥ достатньо, щоб ≥снували в ц≥й точц≥ границ≥ функц≥њ зл≥ва та справа ≥ щоб вони були р≥вн≥, тобто ј1 = ј2 = ј.

ѕор≥вн¤нн¤ неск≥нченно малих та неск≥нченно великих

ƒ≥ленн¤ двох неск≥нченно малих або двох неск≥нченно вели≠ких величин не визначено тому, що њх в≥дношенн¤ може бути неск≥нченно малою або неск≥нченно великою або пост≥йною величиною.

ƒ≥йсно, нехай α Ч неск≥нченно мала величина, тод≥ β = а2 , у = «α , також неск≥нченно мал≥ величини.

ћаЇмо:

- неск≥нченно мала величина;

- неск≥нченно велика величина;

- пост≥йна величина.

¬икористовуючи (д≥ленн¤, можна пор≥внювати неск≥нченно мал≥ та неск≥нченно велик≥ величини.

1	2

Ќазва: Ќеск≥нченно мал≥ та неск≥нченно велик≥ величини
ƒата публ≥кац≥њ: 2005-03-03 (534 прочитано)