Математика > Основні правила диференціювання. Таблиця похідних
Отже, від функції  в точці  існує похідна:  (6.23)
Теорему доведено. Якщо функція  має похідну в довільній точці і  , то формула (6.23) справджується для цих точок
або, що те саме,  (6.24)
У формулі (6.24) похідні знаходяться за різними змінними:  - похідна від  до  , а  - похідна від до . Тому формулу (6.24) записують  (6.25)
Нижній індекс показує, за якою змінною знаходиться похідна. Для зручності поміняємо у формулі (6.25) місцями і . Остаточно матимемо таку формулу для похідної від оберненої функції:  (6.26)
2. Похідні від елементарних функцій Похідна від степеневої функції  Випадок натурального показника. Нехай  , де  - натуральне число. Тоді функція  визначена на всій числовій осі. Отже, візьмемо довільну точку і надамо їй приросту  . Тоді функція  матиме приріст  : 
Розкриємо  за формулою бінома Ньютона: 
Знайдемо відношення 
Перейшовши в цій рівності до границі при  , дістаємо 
Отже похідна від степеневої функції  з натуральним показником існує і дорівнює 
Випадок довільного показника. Нехай  є довільне дійсне число. Тоді область існування функції залежить від . Нехай  - область існування функції  . Візьмемо довільне  , але  (випадок  розглянемо окремо). Тоді приріст дорівнює 
Знайдемо відношення 
або  (6.28)
де  . Перейдемо до границі у рівності (6.28) при . Зауважимо, що коли , то й  . Тому  (6.29)
Обчислимо окремо 
Для цього введемо таке позначення: 
причому  , якщо . Тоді  звідки  . Тоді 
Проте внаслідок неперервності логарифмічної функції маємо 
Отже, 
Повертаючись до співвідношення (6.29), маємо 
тобто якщо і , то  (6.30)
Розглянемо випадок, коли . Якщо  , то точка  не входить в область існування функції . Тому розглядатимемо  і  . Знайдемо приріст функції в точці : 
тоді  Звідси випливає, що у випадку  границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля, існує і дорівнює нулю: 
Якщо  , то границя  не існує, тобто у випадку функція в точці похідної немає. Проте, якщо формально у формулі (6.30) покласти , то дістанемо той самий результат. Отже, для похідної від степеневої функції ми маємо таке правило: похідна від степеневої функції дорівнює показнику, помноженому на цю функцію з показником, на одиницю меншим. 3. Похідна від показникової та логарифмічної функцій 1. Нехай маємо показникову функцію   . Знайдемо в довільній точці  приріст : 
Тоді 
Перейдемо тут до границі при . Маємо 
Таким чином, похідна від показникової функції  існує в довільній точці і дорівнює  (6.31)
Зокрема,  (6.32)
2. Нехай маємо логарифмічну функцію  , де  . Згідно з означенням логарифмічної функції маємо таку рівність: 
Назва: Основні правила диференціювання. Таблиця похідних
Дата публікації: 2005-03-03 (2057 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
