Sort-ref - Основні правила диференціювання. Таблиця похідних


		Головна · Замовити реферат · Гостьова кімната · Партнери · Контакт ·



		Пошук



		Рекомендуєм

Математика > Основні правила диференціювання. Таблиця похідних

Оскільки , то

Отже,

(6.33)

Зокрема,

(6.34)

4. Похідні від тригонометричних функцій

1.. Знайдемо приріст функції в довільній точці :

Знайдемо відношення

Перейдемо в цій рівності до границі при :

Отже похідна від функції існує в довільній точці і дорівнює

(6.35)

2.. Аналогічно доводиться, що від функції в довільній точці існує похідна, яка дорівнює

(6.36)

3. Зобразимо у вигляді

Скориставшись формулою (6.20), маємо

Отже,

(6.37)

4.. Аналогічно можна довести, що

(6.38)

5. Похідні обернених тригонометричних функцій

1., де , .

Тоді згідно з означенням функції маємо таку рівність:

причому похідна при не дорівнює нулю. Тому для знаходження похідної від можна скористатися формулою (6.24):

Оскільки , то набуває тільки додатних значень. Тоді можна записати:

Отже, остаточно

(6.39)

2. Аналогічно можна вивести формули похідних

(6.40)

(6.41) (6.42)

6. Похідна від складної функції

Функція однієї змінної.

Теорема. Нехай маємо складну функцію і нехай: 1) зовнішня функція в точці має похідну (по ) ; 2) внутрішня функція в точці має похідну (по ) . Тоді складна функція в точці також має похідну (по ), яка дорівнює добутку похідних від зовнішньої і внутрішньої функції, тобто

або

(6.43)

Правило знаходження похідної від складної функції: щоб знайти похідну від складної функції, треба знайти похідну від зовнішньої функції за зовнішнім аргументом і результат помножити на похідну від внутрішньої функції за внутрішнім аргументом.

Зауваження. Ця теорема може бути узагальнена і на той випадок, коли аргумент внутрішньої функції є, в свою чергу, функцією від іншого аргументу. Так, якщо маємо функції і кожна з них у відповідних точках має похідні, то функція має похідну по , яка дорівнює

Приклади.

1. Знайти похідну від функції .

Р о з в ’ я з о к. Введемо позначення . Тоді матимемо складну функцію і задовольняють умовам теореми для . Отже,

2. Знайти похідну від функції .

Р о з в ’ я з о к. Введемо позначення . Тоді матимемо складну функцію , .

Тому

Похідна від степенево-показникової функції.

Означення. Функція , де і - функції , називається степенево-показниковою функцією.

Степенево-показникову функцію не можна диференціювати ні за формулою похідної степеневої функції, ні за формулою показникової функції, оскільки вона не є ні тою ні другою. Одержимо окрему формулу.

Нехай дана функція , де . Прологарифмувавши обидві частини рівності, маємо

Диференціюємо обидві частини цієї рівності по як складні функції:

Звідси

або

(6.44)

Правило диференціювання степенево-показникової функції: щоб продиференціювати степенево-показникову функцію, достатньо знайти від неї похідну як від показникової функції (тимчасово вважаємо основу сталою), похідну як від степеневої функції (вважаємо показник сталим) та результати додати.

Приклади.

1. Знайти похідну від функції .