Математика > Числові послідовності
Числові послідовностіСторінка: 1/3
План · Числові послідовності. · Границя, основні властивості. · Границя монотонної послідовності і функції. · Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх властивості. · Порівняння величин. · Еквівалентні нескінченно малі величини. Числові послідовності 1. Означення числової послідовності Дамо означення нескінченної числової послідовності та опишемо деякі з них. Означення. Нескінченною числовою послідовністю називається сукупність чисел, кожному з яких присвоєно певний порядковий номер   (5.1)
де числа   - члени послідовності, відповідно, перший, другий і т.д.;  -  - й, або загальний член послідовності. Числову послідовність записують або у вигляді ряду чисел (5.1) або у вигляді  Числова послідовність вважається заданою, якщо вказано закон або правило, за допомогою якого кожному натуральному числу ставиться у відповідність дійсне число  Опишемо основні способи задання цього правила. Спосіб 1. Правило може бути задане формулою, якою задається загальний член послідовності Приклади. 1.  Відповідна числова послідовність має вигляд  .
2.  Дана послідовність має вигляд   . Спосіб 2. При заданні послідовності задають кілька її початкових членів і правило (майже завжди це формула) утворення -го члена за допомогою попередніх членів. Такий спосіб називається рекурентним. Наприклад, нехай     Так задано послідовність  . Спосіб 3. У деяких випадках може бути невідома формула загального члена послідовності, і також не задано рекурентне співвідношення, а послідовність задається словесно. Наприклад, нехай є десятковим наближенням квадратного кореня із  з надбавкою з точністю до  Тоді перші члени цієї послідовності мають вигляд:    
Геометрично члени послідовності  зображаються точками на числовій осі. Серед числових послідовностей в окремий клас виділяють монотонні послідовності, що об’єднують в собі зростаючі, спадні , неспадні, не зростаючі послідовності. Означення . Послідовність називається зростаючою, якщо кожний її наступний член більший від попереднього, тобто  для кожного  Приклад. У послідовності кожний наступний член більший від попереднього. Отже, задана послідовність є зростаюча. Означення . Послідовність називається неспадною, якщо  для кожного Приклад. Якщо покласти  ( означає функцію рантьє), то дістанемо неспадну послідовність   . Означення . Послідовність називається спадною, якщо для кожного Приклад. Послідовність  є спадна. Означення . Послідовність називається незростаючою, якщо  для кожного . Приклад . Якщо взяти  то дістанемо незростаючу послідовність. Для дальшого вивчення числових послідовностей слід ввести поняття обмежених і необмежених послідовностей. Означення . Послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує дійсне число  таке, що для всякого виконується нерівність  . Послідовність називається обмеженою знизу, якщо існує дійсне число  таке, що для всіх виконується нерівність  Приклади . 1. Якщо взяти  дістанемо послідовність     обмежену зверху , оскільки   2. Якщо взяти  дістанемо послідовність        обмежену знизу, оскільки   Означення . Послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена і зверху, і знизу, у противному разі – необмеженою. Приклади . 1. Нехай  Послідовність     є обмежена  Послідовність    не є обмежена . Наведемо ще такі формулювання означення обмежених та необмежених послідовностей . Послідовність називається обмеженою, якщо   для всіх Покладемо   Послідовність називається обмеженою, якщо  
Назва: Числові послідовності
Дата публікації: 2005-03-03 (910 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
