ћатематика > „ислов≥ посл≥довност≥
 
“еорема 4. Ќехай члени посл≥довностей  ,  ,  при вс≥х значенн¤х  задовольн¤ють нер≥вност≥  ≥  “од≥  4. Ќеск≥нченно мал≥ та неск≥нченно велик≥ числов≥ посл≥довност≥ ¬ведемо пон¤тт¤ неск≥нченно малих та неск≥нченно великих посл≥довностей ≥ встановимо звТ¤зок м≥ж ними. ќзначенн¤. „ислова посл≥довн≥сть  називаЇтьс¤ неск≥нченно малою, ¤кщо   (5.5)
що те саме при  ќзначенн¤. „ислова посл≥довн≥сть називаЇтьс¤ неск≥нченно великою, ¤кщо   (5.6)
÷ей вираз записують так: 
“еорема 1. якщо посл≥довн≥сть неск≥нченно мала ≥  при вс≥х  то посл≥довн≥сть  - неск≥нченно велика. якщо посл≥довн≥сть неск≥нченно велика ≥  при вс≥х то посл≥довн≥сть  - неск≥нченно мала. “еорема 1. ƒл¤ того щоб посл≥довн≥сть мала границю, ¤ка б дор≥внювала  необх≥дно ≥ достатньо, щоб ≥снувала така неск≥нченно мала посл≥довн≥сть  що  (5.7)
«ауваженн¤. –озгл¤немо арифметичн≥ операц≥њ над числовими посл≥довност¤ми: додаванн¤, в≥дн≥манн¤, множенн¤ та д≥ленн¤. Ќехай маЇмо дв≥ посл≥довност≥ :    (5.8)
та    (5.9)
“од≥ додаванн¤, в≥дн≥манн¤ та множенн¤ посл≥довностей (5.8), (5.9) виконуютьс¤ додаванн¤м, в≥дн≥манн¤м чи множенн¤м в≥дпов≥дних член≥в цих посл≥довностей. якщо вс≥   то частка в≥д д≥ленн¤ посл≥довност≥ (5.8) на посл≥довн≥сть (5.9) визначаЇтьс¤ ¤к посл≥довн≥сть   члени ¤коњ   —имвол≥чно ц≥ д≥њ познаютьс¤ так:   
“еорема 2. јлгебрањчна сума двох неск≥нченно малих Ї неск≥нченно мала. Ќасл≥док 1. јлгебрањчна сума ск≥нченоњ множини неск≥нченно малих Ї неск≥нченно мала. “еорема 2. ƒобуток неск≥нченно малоњ числовоњ посл≥довност≥ на посл≥довн≥сть обмежену Ї неск≥нченно мала числова посл≥довн≥сть. Ќасл≥док 2. ƒобуток сталоњ величини на неск≥нченно малу числову посл≥довн≥сть Ї неск≥нченно мала числова посл≥довн≥сть. Ќасл≥док 3. ƒобуток ск≥нченого числа неск≥нченно малих числових посл≥довностей Ї неск≥нченно мала числова посл≥довн≥сть. 5. ќсновн≥ теореми про границ≥ Ќаведемо теореми, ¤кими користуютьс¤ дл¤ знаходженн¤ границ≥ числових посл≥довностей. “еорема 1. јлгебрањчна сума двох зб≥жних посл≥довностей  ≥  Ї зб≥жна посл≥довн≥сть, њњ границ¤ дор≥внюЇ в≥дпов≥дн≥й сум≥ границь даних посл≥довностей. ƒ о в е д е н н ¤. Ќехай   “од≥  
де  ≥  - неск≥нченно мал≥ посл≥довност≥. ƒодавши почленно ц≥ р≥вност≥, д≥станемо: 
ќтже, вираз  ми подали у вигл¤д≥ суми сталого числа  ≥ неск≥нченно малоњ  “ому ≥снуЇ  та 
«ауваженн¤ . “еорема справедлива й дл¤ випадку вс¤кого ск≥нченого числа зб≥жних числових посл≥довностей. “еорема 2. ƒобуток двох зб≥жних посл≥довностей ≥ Ї зб≥жна посл≥довн≥сть, њњ границ¤ дор≥внюЇ добутку границь даних посл≥довностей. ƒ о в е д е н н ¤. «а умовою теореми   “ому   де  - неск≥нченно мал≥ посл≥довност≥. “од≥  ≤з властивостей неск≥нченно малих виводимо, що посл≥довн≥сть  - неск≥нченно мала.
«в≥дси  тобто 
“еорему доведено. «ауваженн¤. “еорема справедлива й у випадку добутку вс¤кого ск≥нченого числа зб≥жних посл≥довностей. Ќасл≥док 1. якщо посл≥довн≥сть маЇ ск≥нчену границю, то при вс¤кому сталому  маЇмо: 
або сталий множник можна виносити за знак границ≥. Ќасл≥док 2. якщо  ≥  - натуральне число, то 
“еорема 3. якщо посл≥довност≥ ≥ зб≥гаютьс¤,  причому  ≥  то посл≥довн≥сть  зб≥гаютьс¤ ≥ њњ границ¤ дор≥внюЇ в≥дношенню границь посл≥довностей та  ƒ о в е д е н н ¤. «а умовою теореми
де - неск≥нченно мал≥ посл≥довност≥. ќск≥льки  то   де  - стале число. Ќадал≥ обмежимос¤ тими членами посл≥довност≥  ¤к≥ задовольн¤ють попередн≥й нер≥вност≥. “од≥  .
ѕосл≥довн≥сть Ї обмежена, оск≥льки  ѕосл≥довн≥сть  Ї неск≥нченно мала. “аким чином,  Ї неск≥нченно мала. “ому  “еорему доведено. ѕри вивчен≥ основних теорем про границ≥ ми вважали, що числов≥ посл≥довност≥ ≥ мають ск≥нченн≥ границ≥, причому при доведенн≥ теореми про границю частки вважали, що границ¤ д≥льника не дор≥внюЇ нулю. –озгл¤немо випадок, коли ≥ Ї неск≥нченно велик≥ числов≥ посл≥довност≥, тобто  
Ћегко бачити, що арифметична сума ≥ добуток цих посл≥довностей Ї також неск≥нченно велика числова посл≥довн≥сть. ѕроте н≥чого конкретного в загальному випадку не можна сказати про частку в≥д д≥ленн¤ та р≥зницю цих посл≥довностей. „астка в≥д д≥ленн¤ таких посл≥довностей залежно в≥д закону зм≥ни  ≥  може поводити себе по-р≥зному. ожного разу в≥дношенн¤  треба досл≥джувати. “ому говор¤ть, що в≥дношенн¤  ¤кщо  Ї невизначен≥сть. ≤ цю невизначен≥сть символ≥чно позначають так:  ѕриклади. 1. «найти  – о з в Т ¤ з о к. –озкрити невизначен≥сть ¬ цьому випадку поступають так: чисельник ≥ знаменник д≥л¤ть на (в≥д цього др≥б не зм≥нюЇтьс¤ ), а пот≥м застосовують теореми про границ≥ частки ≥ суми. Ќаведемо повний запис обчисленн¤ границ≥:  
2. «найти  – о з в Т ¤ з о к.  
3. «найти   – о з в Т ¤ з о к. 
—казане про частку стосуЇтьс¤ й р≥зниц≥ двох неск≥нченно великих числових посл≥довностей. якщо  то р≥зницю  називають невизначен≥стю виду  ѕриклад. «найти  – о з в Т ¤ з о к. “ут маЇмо невизначен≥сть виду ƒл¤ њњ розкритт¤ позбавл¤Їмос¤ ≥ррац≥ональност≥ у чисельнику. ћатимемо  « аналог≥чним фактом ми зустр≥чаЇмось у випадку в≥дношенн¤ двох неск≥нченно малих числових посл≥довностей. якщо   то частка в≥д д≥ленн¤ може також поводити себе по Ц р≥зному. ÷ю невизначен≥сть називають невизначен≥стю виду  ÷ю, а також й ≥нш≥ невизначеност≥ розгл¤немо в наступних параграфах. 6. √раниц¤ монотонноњ числовоњ посл≥довност≥ ќсновн≥ теореми про границ≥ дають змогу встановлювати та знаходити числове значенн¤ границ≥ заданоњ числовоњ посл≥довност≥ за допомогою границь ≥нших числових посл≥довностей, певним чином повТ¤заних з розгл¤дуваною. ѕроте в де¤ких випадках ¤к теоретичного, так ≥ практичного характеру не завжди можна використати ц≥ теореми. “ому доводитьс¤ застосовувати ≥нш≥ способи, зокрема ознаки зб≥жност≥ числових посл≥довностей. “еорема 1. якщо посл≥довн≥сть  (5.10) Ї монотонно зростаюча (спадна) ≥ обмежена зверху (знизу), то вона зб≥жна. 5. ѕор≥вн¤нн¤ неск≥нченно малих величин ≤нод≥ доводитьс¤ розгл¤дати не одну, а дек≥лька неск≥нченно малих функц≥й в дан≥й точц≥. “ак≥ функц≥њ пор≥внюють м≥ж собою за допомогою границ≥ њх в≥дношенн¤. «найти границю такого в≥дношенн¤ за в≥домими теоремами про неск≥нченно мал≥ ≥ про границ≥ не можна. ÷е не випадково. ¬≥дношенн¤ двох неск≥нченно малих, залежно в≥д характеру зм≥ни пор≥внюваних м≥ж собою неск≥нченно малих, може вести себе по-р≥зному: воно може бути або величиною, що пр¤муЇ до ск≥нченоњ, в≥дм≥нноњ в≥д нул¤ границ≥, або величиною неск≥нченно малою, або неск≥нченно великою, або величиною, ¤ка маЇ границ≥. ожне ≥з цих чотирьох випадк≥в маЇ свою назву. Ќехай  ≥  Ї неск≥нченно мал≥ функц≥њ в точц≥  . ќзначенн¤.1. якщо  ,
то ≥ в точц≥  називаютьс¤ неск≥нченно малими однакового пор¤дку малост≥. ѕриклади. 1. Ќехай  . ѕри  ≥ ≥ пр¤мують до нул¤. «найдемо 
ќтже, функц≥њ  ≥  Ї неск≥нченно мал≥ однакового пор¤дку малост≥ в точц≥  . 2. Ќехай 
 ≥  .
«найдемо  .
ќтже, функц≥њ  ≥  на неск≥нченност≥ однакового пор¤дку малост≥. 3. Ќехай  , ≥ . «найдемо  .
ќтже, функц≥њ  ≥  при  неск≥нченно мал≥ однакового пор¤дку малост≥. ќзначенн¤ 2. якщо  ,
то називаЇтьс¤ неск≥нченно малою вищого пор¤дку малост≥, н≥ж . ѕри цьому - неск≥нченно мала нижчого пор¤дку малост≥, н≥ж . ѕриклади. 1. Ќехай   . “од≥ ≥ в точц≥  Ї неск≥нченно мал≥ функц≥њ. «найдемо 
ќтже, в цьому випадку Ї неск≥нченно мала вищого пор¤дку, н≥ж . 2.  ,  , ≥ - неск≥нченно мал≥ при . «найдемо 
ќтже, при  Ї неск≥нченно мала вищого пор¤дку, н≥ж  . ќзначенн¤ 3. якщо  ,
то називаЇтьс¤ неск≥нченно малою б≥льш нижчого пор¤дку малост≥, н≥ж . ѕриклад. Ќехай  ,  . ѕри ≥ - неск≥нченно мал≥. «найдемо 
ќтже, при  Ї неск≥нченно малою нижчого пор¤дку малост≥, н≥ж  . ќзначенн¤ 4. якщо границ≥ в≥дношенн¤ ≥ не ≥снуЇ (н≥ ск≥нчена, н≥ неск≥нченна), то ≥ називаютьс¤ не пор≥внювальними неск≥нченно малими. ќзначенн¤ 5. якщо  ,
то ≥ в точц≥ називаютьс¤ екв≥валентними, ≥ записуютьс¤ : ~ . ѕриклади. 1. Ќехай  ,  . “од≥ ≥ в точц≥ Ї неск≥нченно мал≥. ќск≥льки  (доведенн¤ буде дано в наступн≥й тем≥), то  ≥ Ї екв≥валентн≥ величини, тобто ~ . 2. ƒовести, що в точц≥  :
Ќазва: „ислов≥ посл≥довност≥
ƒата публ≥кац≥њ: 2005-03-03 (910 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
