‘≥зика > “ермодинам≥чн≥ властив

n=∫0,EFg(E)dE+((μ-EF)g(EF)+ π2/6(kBT)2gТ(EF))+ O(T)4 (26)

ѕерш≥ члени в правих частинах, незалежн≥ в≥д температури, ¤вл¤ють значенн¤ u ≥ nдл¤ основного стану. ќск≥льки ми розраховуЇмо питому теплоЇмн≥сть при пост≥йн≥й густин≥, то величина n не залежить в≥д температури ≥ вираз (26) зводитьс¤ до сп≥вв≥дношенн¤:

0=(μ-EF)g(EF)+ π2/6(kBT)2gТ(EF) (27)

¤ке визначаЇ в≥дхиленн¤ х≥м≥чного потенц≥алуμ в≥дEF

μ= EF- π2/6(kBT)2gТ(EF) /g(EF) (28)

ќск≥льки дл¤ в≥льних електрон≥в густина р≥вн≥в g(E) пропорц≥йна E1/2 (див. (14)), отримаЇмо

μ= EF(1-1/3(πkBT/2EF)2) (29)

тобто, зм≥на μ маЇ пор¤док T2 ≥ складаЇ близько 0,01% нав≥ть при к≥мнатних температурах.

¬раховуючи (27) член в ф≥гурних дужках у вираз≥ (25) перетворюЇтьс¤ в нуль, тому вираз дл¤ густини тепловоњ енерг≥њ при пост≥йн≥й густин≥ електрон≥в набуваЇ б≥льш простоњ форми

u=u0+ π2/6(kBT)2g(EF) (30)

де u0- густина енерг≥њ в основному стан≥.

ќтже, питома теплоЇмн≥сть електронного газу:

cv=(∂U/∂T)n=π2k2Tg(EF)/3 (31)

≥ дл¤ в≥льних електрон≥в (див.(16)) маЇмо

cv=(π2/2)(kBT/EF)nkB (32)

ѕор≥внюючи цей вираз ≥з класичним результатом дл¤ ≥деального газу (cv=3/2ЈkB), ми бачимо, що статистика ‘ерм≥-ƒ≥рака приводить до пониженн¤ питомоњ теплоЇмност≥ за рахунок множника (π2/3)(kBT/EF), ¤кий пропорц≥йний температур≥ ≥ маЇ пор¤док 10-2 ÷им по¤снюЇтьс¤ в≥дсутн≥сть спостер≥гаю чого вкладу електронних ступен≥в в≥льност≥ в питому теплоЇмн≥сть металу при к≥мнатн≥й температур≥.

ƒл¤ грубих обрахунк≥в питомоњ теплоЇмност≥ досить проанал≥зувати залежн≥сть в≥д температури функц≥њ ‘ерм≥.

ѕередбаченн¤ л≥н≥йного вкладу в питому теплоЇмн≥сть ¤вл¤Ї собою одне з важливих насл≥дк≥в статистики ‘ерм≥-ƒ≥рака. ¬оно дозвол¤Ї ще раз пров≥рити теор≥ю електронного газу в металах, при умов≥, що ступен≥ в≥льност≥ в≥дм≥нн≥ в≥д електронних, не дають пор≥вн¤льного або великого вкладу. ¬ д≥йсност≥ ви¤вл¤Їтьс¤, що при високих температурах основний вклад в теплоЇмн≥сть внос¤ть ≥нш≥ ступен≥ в≥льност≥. јле при температурах набагато нижчих в≥д к≥мнатноњ њх вклад падаЇ пропорц≥йно кубу температури ≥ при дуже низьких температурах стаЇ нижче електронного, ¤кий зменшуЇтьс¤ л≥н≥йно з температурою “. ўоб розд≥лити ц≥ два вклади, зазвичай будують криву залежност≥ cv/T в≥д T2. ƒ≥йсно, при врахуванн≥ електронного ≥ ≥онного вклад≥в теплоЇмн≥сть при низьких температурах становить

cv=γT+AT3 (33)

тод≥

cv/T=γ+AT2 (34)

“ому можна знайти γ.

«наченн¤ питомоњ теплоЇмност≥ вказують в ƒж/моль .

ўоб знайти теплоЇмн≥сть одного мол¤ c, необх≥дно помножити в≥днесену до одиниц≥ обТЇму питому теплоЇмн≥сть cv на ZNA/n

c= π2ZRkBTg(EF)/3n (35)

де

R=kBNA=8,314 ƒж/моль  

¬икористовуючи вираз (16) дл¤ густини р≥вн≥в в≥льних електрон≥в ≥ вичислене вище значенн¤ EF/kB, отримаЇмо, що вклад в≥льних електрон≥в в теплоЇмн≥сть одного мол¤ дор≥внюЇ c=γT, де

γ= π2ZR/2TF=0,169Z(rS /a0)210-4 калмоль-1  -2 (36).

6. «оммерфельд≥вська теор≥¤ пров≥дност≥ в металах.

ўоб знайти розпод≥л по швидкост¤х дл¤ електрон≥в у метал≥ розгл¤немо малий елемент обТЇму dk, поблизу точки k в k-простор≥. « врахуванн¤м дворазового сп≥нового виродженн¤ число одно електронних р≥вн≥в в цьому елемент≥ обТЇму дор≥внюЇ

(V/4π3)dk (37)

…мов≥рн≥сть заповненн¤ кожного р≥вн¤ Ї f(E(k)), тому повне число електрон≥в в елемент≥ обТЇму k-простору дор≥внюЇ

Vf(E(k))dk/4π3 , E(k)=ħ2k2/2m (38)

ќск≥льки швидк≥сть в≥льного електрона з хвильовим вектором k дор≥внюЇ v=ħk/m, то число електрон≥в в елемент≥ обТЇму dv поблизу v сп≥впадаЇ з числом електрон≥в в обТЇм≥ dk=(m/ħ)3dV поблизу точки k=mv/ħ. ќтже, повне число електрон≥в в розрахунку на одиницю обТЇму в реальному простор≥, що м≥ст¤тьс¤ в елемент≥ простору dv швидкостей поблизу v, дор≥внюЇ

f(v)dv (39),

де

f(v)=((m/ħ)3/4π3)(1/(exp((mv2/2-μ)/kBT)+1)) (40)

«оммерфельд заново розгл¤нув модель ƒруде ≥ зам≥нив всюди класичний розпод≥л по швидкост¤х ћаксвела-Ѕольцмана на розпод≥л ‘ерм≥-ƒ≥рака.

 ласичне описанн¤ руху електрона можливе в тому випадку, коли його координати ≥ ≥мпульс можуть бути вим≥р¤н≥ з необх≥дною точн≥стю без порушенн¤ принципу невизначеност≥.

“иповий електрон в метал≥ маЇ ≥мпульс пор¤дку ħkF, тому, щоб класичний опис був хороший, невизначен≥сть ≥мпульсу електрона Δp повинна бути малою пор≥вн¤но з ħkF. ќск≥льки ≥з формули

kF=(9π/4)1/3/rS=1,92/rS

сл≥дуЇ, що kF пропорц≥йне 1/rS, невизначен≥сть повинна задовольн¤ти умову:

∆x ~ ħ/∆p >> (1/kF) ~ rS (41)

де rS маЇ пор¤док середньоњ в≥дстан≥ м≥ж електронами, тобто дек≥лька ангстрем. “ому класичний опис неможливий, коли розгл¤даютьс¤ електрони, ¤к≥ локал≥зован≥ на в≥дстан¤х пор¤дку м≥жатомних. јле електрони пров≥дност≥ в металах не привТ¤зан≥ до конкретного ≥она, а в≥льно рухаютьс¤ по обТЇму металу. ¬ б≥льшост≥ випадк≥в немаЇ необх≥дност≥, в макроскоп≥чних прикладах, задавати њх координати з точн≥стю до 10-8см. ¬ модел≥ ƒруде знанн¤ координат електрона важливо в двох в≥дношенн¤х:

1) коли до металу прикладене зм≥нне електромагн≥тне поле або град≥Їнт температури, ми повинн≥ вказати координати електрона з точн≥стю до в≥дстаней, малих пор≥вн¤но з характерним масштабом λ, на ¤к≥й м≥н¤Їтьс¤ поле або град≥Їнт температури.

2) ¬ модел≥ ƒруде передбачаЇтьс¤, що електрони можуть перебувати на в≥дстан¤х набагато менших в≥д довжини в≥льного проб≥гу. “ому сл≥д розгл¤дати електрони з довжиною в≥льного проб≥гу >10 ангстрем.

≤снуЇ широкий клас ¤вищ, коли повед≥нку окремого електрона можна описати з допомогою класичноњ механ≥ки. јле чи можна описати так повед≥нку N таких електрон≥в.

–озгл¤немо систему з N електрон≥в, не взаЇмод≥ючих один з одним ≥ п≥ддаючи њх д≥њ електромагн≥тного пол¤, що залежить ¤к в≥д просторових координат, так ≥ в≥д часу. Ќехай в нульовий момент часу шл¤хом заповненн¤ де¤ких N одно електронних р≥вн≥в Ψ1(0),Е,ΨN(0) створений де¤кий N-електронний стан. Ќехай Ψj(t), той р≥вень, в ¤кому за час t п≥д д≥Їю електромагн≥тного пол¤ перетворивс¤ б р≥вень Ψj(0), ¤кщо був би один електрон, що знаходивс¤ в нульовий момент часу на р≥вн≥ Ψj(0). “од≥ в момент часу t в≥дпов≥дний N-електронний стан буде утворений заповненн¤м N-одноелектронних р≥вн≥в Ψ1(t),Е,ΨN(t). “аким чином, щоб повн≥стю визначити динам≥чну повед≥нку системи ≥з N не взаЇмод≥ючих електрон≥в, достатньо розгл¤нути N незалежних одноелектронних задач.

¬икористанн¤ статистики ‘ерм≥-ƒ≥рака впливаЇ лише на т≥ результати модел≥ ƒруде, дл¤ отриманн¤ ¤ких необх≥дно знати розпод≥л електрон≥в за швидкост¤ми. якщо величина 1/τ, ¤кахарактеризуЇ частоту з≥ткнень електрона, не залежить в≥д його енерг≥њ, то зм≥на функц≥њ розпод≥лу впливаЇ лише на визначенн¤ довжинив≥льного проб≥гу електрона, а також на розрахунок теплопров≥дност≥ ≥ термо-е.р.с.

—ередн¤ довжина в≥льного проб≥гу:

l=92 Å(rS/a0)2/ρμ (42)

ѕитомий оп≥р ρμ при к≥мнатн≥й температур≥ 1-100мкќмЈсм, а величина

rS /a0=2÷6 нав≥ть при к≥мнатн≥й температур≥ д.с.п.е. ~100A0.

“еплопров≥дн≥сть

χ=1/3Јv2τcv (43)

ѕравильна виличина питомоњ теплоЇмност≥ (32) менша в≥д отриманого ƒруде класичного значенн¤, ¤ка в≥дм≥нна в≥д нењ на множник kBT/EF. ƒл¤ правильноњ оц≥нки величини v2 потр≥бно вз¤ти не середн≥й квадрат класичноњ тепловоњ швидкост≥, що маЇ пор¤док kBT/m , а значенн¤ v2F=2EF/m, що перевищуЇ класичну величину в EF/kBT раз≥в. ѕ≥дставл¤ючи вс≥ ц≥ величини в (43) ≥ виражаючи час релаксац≥њ через пров≥дн≥сть отримаЇмо

χ/σT=(π2/3)(kB/e)2=2,44*10-8 ¬т ќм/ 2 (44)

7. “ермоелектроруш≥йна сила.

ѕ≥дставивши питому теплоЇмн≥сть з формули (32) в формулу Q=-cv/3ne отримаЇмо

Q=- (π2/6)(kB/e)(kBT/EF)=-1,42(kBT/EF)*10-4 B/K (45)

ќстанн¤ величина менша на множник ќ(kBT/EF) ~0,01 при к≥мнатн≥й температур≥, в≥д оц≥нки ƒруде.

≤нш≥ властивост≥ не зм≥нюютьс¤, ¤кщо статистику ћаксвелла-Ѕольцмана зам≥нити статистикою ‘ерм≥-ƒ≥рака.

јле ц≥ висновки не справджуютьс¤, ¤кщо час релаксац≥њ залежить в≥д енерг≥њ. ’оч ц¤ залежн≥сть значно на властивост≥ метал≥в не впливаЇ.

8. Ќедол≥ки модел≥ в≥льних електрон≥в.

1. ѕомилки в коеф≥ц≥Їнтах переносу, що даЇ модель в≥льних електрон≥в. а)  оеф≥ц≥Їнт ’олла.теор≥¤ в≥льних електрон≥в показуЇ, що коеф≥ц≥Їнт ’олла при густинах електрон≥в, типових дл¤ металу, маЇ пост≥йну величину RH=-1/nec , щоне залежить в≥д температури, часу релаксац≥њ ≥ напруженост≥ магн≥тного пол¤.

’оч одержан≥ експериментально значенн¤ коеф≥ц≥Їнта ’олла мають д≥йснотакий пор¤док величини, але вони залежать ≥ в≥д напруженост≥ магн≥тного пол¤ ≥ в≥д температури. Ћише дл¤ лужних метал≥в коеф≥ц≥Їнт ’олла под≥бний до того ¤кий в теор≥њ в≥льних електрон≥в.

б) ћагн≥тооп≥р. ≤з тор≥њ в≥льних електрон≥в сл≥дуЇ, що оп≥р пров≥дника в напр¤мку перпендикул¤рному до пост≥йного магн≥тного пол¤, не повинен залежати в≥д напруженост≥ пол¤. Ќасправд≥ така залежн≥сть маЇ м≥сце. ¬ де¤ких випадках оп≥р може зростати необмеженно при зб≥льшенн≥ пол¤.

1	2	3

Ќазва: “ермодинам≥чн≥ властив
ƒата публ≥кац≥њ: 2005-03-24 (906 прочитано)