Математика > Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)
Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)Сторінка: 1/5
План Рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними Однорідні диференціальні рівняння першого порядку і рівняння, що зводяться до однорідних Лінійні диференціальні рівняння першого порядку Рівняння Бернуллі 12.2. Рівняння з відокремленими й відокремлюваними змінними Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку  (12.1)
праву частину можна подати у вигляді 
то (за умови, що  ) це рівняння можна записати так:  (12.2)
Розглядаючи цю рівність як рівність двох диференціалів та інтегруючи зліва за  , а справа за  , отримаємо  (12.3)
Це співвідношення є загальним інтегралом рівняння (12.1). Диференціальне рівняння першого порядку типу (12.2), в якому при диференціалах  та  стоять відповідно функції, залежні тільки від чи тільки від , називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними. Диференціальне рівняння вигляду  (12.4)
називається рівнянням з відокремлюваними змінними. Справді, якщо  , то змінні відокремлюються діленням обох частин рівняння (12.4) на  . Маємо 
і, отже, загальний інтеграл рівняння, за аналогією з (12.2), має вигляд  .
\Приклад 1 . Нехай  осіб зацікавлені в одержані інформації про новини технології у деякій галузі знань. Нехай в момент часу  інформація відома  особам. Для прискорення поширення інформації в момент часу  було дано оголошення (наприклад, по радіо). Далі інформація поширюється при спілкуванні людей між собою. Можна вважати, що після оголошення швидкість зміни кількості тих, хто знає про технологічні новини, пропорційна як числу тих, хто знає, так і кількості  тих, хто не знає. Припускаючи, що в момент часу про новину дізналося  чоловік, приходимо до диференціального рівняння  (12.5)
з початковою умовою ( - коефіцієнт пропорціональності). Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Подамо його у вигляді  .
Загальний інтеграл рівняння  (12.6)
Знайдемо інтеграл у лівій частині рівності (12.6): 
(Зауважимо, що  ). Загальний інтеграл (12.6) має форму  .
Звідси знаходимо загальний розв’язок :  (12.7)
Для отримання розв’язку задачі Коші покладемо в рівності (12.7)  та визначимо довільну сталу (у даному прикладі зручно шукати не  , а  ) . Маємо  , звідки  (12.8)
Підставимо вираз (12.8) у загальний розв’язок (12.7) і спростимо результат. Отримаємо шуканий частинний розв’язок:  . (12.9)
Його графіком є так звана логістична крива (рис.12.1). 
Рис.12.1 Приклад 2 . Нехай відомо, що швидкість хімічної реакції, яка перетворює речовину  на речовину  , пропорційна добуткові концентрації цих речовин. Потрібно скласти диференціальне рівняння залежності об’єму  речовини від часу . Нехай об’єм речовини , що бере участь в реакції, дорівнює  . Тоді загальний об’єм  . Приріст у разі переходу речовини в речовину має вигляд:  , а швидкість реакції буде  . Згідно з умовою  (12.10)
( коефіцієнт пропорційності), оскільки  та  - концентрації речовин та  Враховуючи, що  рівняння (12.10) запишемо у вигляді 
або  (12.11)
де  . Цікаво відзначити, що рівняння (12.11) збігалося з рівнянням (12.5). Вперше таке рівняння використано у 1845 р. і названо як рівняння Ферхольста - Перла, застосовувалось воно для опису динаміки чисельності популяції в біології. Зауважимо, що такий самий вигляд мають рівняння інших процесів – наприклад, попиту на сезонні масові послуги на підприємствах побутового обслуговування, а також випаровування вологи з пористої речовини тощо. Розглянемо диференціальне рівняння виду  . Виявляється, що це рівняння також описує зовсім різні явища, процеси: при  отримуємо закон органічного росту, при  - рівняння процесу радіоактивного розпаду, залежності атмосферного тиску від висоти, процесу розряду конденсатора через опір й ін. 12.3. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку і рівняння, що зводяться до однорідних Рівняння першого порядку 
називається однорідним відносно та , якщо для будь-якого  справедлива тотожність  .
Приклад 1. Рівняння  є однорідним, бо  .
Однорідні диференціальні рівняння першого порядку зводяться до рівнянь з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки  Тоді  (тут покладено  ). Змінні відокремлюються, оскільки після підстановки  в рівняння дістанемо
Назва: Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)
Дата публікації: 2005-03-03 (1942 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
