Математика > Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)
 ,
звідки  .
Інтегруючи це рівняння й повертаючись від змінної  до змінної  , отримуємо загальний розв’язок однорідного рівняння. Прикладі 2. Розв’язати рівняння  . Р о з в ‘ я з о к. Це рівняння однорідне. Виконаємо у цьому рівнянні заміну залежної змінної  Тоді  .
Відокремлюючи змінні, одержуємо:  , звідки  .
Отже, загальний розв’язок рівняння має вигляд  . Приклад 3. Покажемо, як розв’язується рівняння, наведене в прикладі 3, за допомогою полярних координат. Перейдемо до нових змінних  та  за формулами  .
Звідси 
Отже,  .
Права частина рівняння у нових координатах набуває вигляду 
Прирівнюючи праву і ліву частини рівняння, дістанемо  .
На основі властивості пропорції позбудемося дробів: 
Спрощуючи це рівняння, отримаємо  .
Відокремлюємо змінні  .
Інтегруємо  .
(довільну сталу позначили як  ) . Звідси  . Повернемось до старих змінних  та й спростимо вираз. Отримаємо шуканий загальний інтеграл  або  . Зауваження. До однорідних рівнянь зводяться диференціальні рівняння вигляду  (12.12)
1. У разі, коли  , слід виконати заміну змінних , де  і  - сталі, підібрані таким чином, щоб рівняння (12.12) перетворилося на однорідне рівняння вигляду  .
Оскільки  та  , сталі  і слід підібрати так, щоб виконувались рівняння 
Ця система має єдиний розв’язок (згідно з умовою ). 2. Якщо  , то  , оскільки  , та  . В цьому разі рівняння (12.12) подамо у вигляді  . (12.13)
Якщо в цьому рівнянні виконати заміну змінної за формулою  , то рівняння (12.13) перетвориться у диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Справді, маємо  і , отже,  . Перейшовши до нової змінної у рівнянні (12.13), одержимо рівняння  ,
у якому змінні легко відокремлюються. Приклад 4. Розв’язати рівняння  .
Р о з в ‘ я з о к. Це - диференціальне рівняння вигляду (12.13). Перевіримо, чи виконується для нього нерівність  . Отже, в цьому рівнянні слід виконати заміну змінних та за формулами  . Підставимо нові змінні у вихідне рівняння:  .
Для визначення і отримаємо алгебраїчну систему двох лінійних рівнянь 
головний визначник якої дорівнює  і, отже, система має єдиний розв’язок: ,  . Це дозволяє виконати заміну змінних і:  , в результаті якої отримуємо однорідне рівняння  . Виконаємо в цьому рівнянні заміну змінної  за формулою  . Маємо  . Відокремлюємо змінні та  :  .
Загальний інтеграл цього рівняння має вигляд 
або  .
Враховуючи виконані заміни змінних, маємо:  .
Отже, загальний інтеграл вихідного рівняння 
або, після спрощень,  .
12.4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку Лінійними диференціальними рівняннями першого порядку називається рівняння, лінійне відносно невідомої функції та її похідної:  (12.14)
де  - задані неперервні функції від . Якщо, зокрема,  , то рівняння  (12.15)
називається лінійним однорідним (або без правої частини), а рівняння (12.14), в якому  - неоднорідним. Однорідне рівняння (12.15) – це диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремлюємо змінні:  .
Загальний інтеграл рівняння  ,
а загальний розв’язок однорідного рівняння (12.15)  (12.16)
Щоб відшукати загальний розв’язок рівняння (12.14), використаємо так званий метод варіації довільної сталої Лагранжа. Суть його полягає в тому, що розв’язок рівняння (12.14) шукатимемо у вигляді, аналогічному (12.16), але вважатимемо у цій формулі  не сталою, а невідомою функцією від :
Назва: Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)
Дата публікації: 2005-03-03 (1942 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
