Математика > Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)
 .
Тоді загальний розв’язок рівняння набуває вигляду  ,або  .
Поклавши тут  і  , знайдемо, що  . Отже, частинний розв’язок поставленої задачі матиме вигляд  .
Приклад 3. З фізики відома залежність між силою стуму  та електрорушійною силою  в колі, яке має опір  та самоіндукцію  ( та - сталі):  .
Якщо  , то це рівняння повністю збігається з диференціальним рівнянням, розглянутим у прикладі 2, хоч описувані процеси зовсім різні. Нехай  . Тоді відносно маємо диференціальне рівняння, яке зручно записати у вигляді  .
Знайдемо загальний розв’язок цього лінійного рівняння. Нехай  , де  та  - невідомі функції. Тоді  Після підстановки в рівняння  та  маємо:  або  . Невідому функцію знайдемо з рівняння  ,звідки  . Величина  визначається з рівності  ,
звідки  ,
де  довільна стала. Позначимо інтеграл, що фігурує справа, через  :  . Інтегруючи двічі частинами, отримаємо  ,
а функцію визначимо за допомогою рівності  .
Отже, сила струму визначається виразом  .
12.5. Рівняння Бернуллі Диференціальне рівняння виду  , (12.24)
в якому  неперервні функції, а число  відмінне від нуля та одиниці, називається рівнянням Бернуллі (при  маємо лінійне рівняння, а при  - рівняння з відокремлюваними змінними). Покажемо, що рівняння Бернуллі зводиться до лінійного диференціального рівняння першого порядку. Для цього поділимо ліву й праву частини рівняння (12.24) на  : 
та виконаємо заміну змінної  . Оскільки  ,
диференціальне рівняння Бернуллі перетворюється на рівняння 
яке є лінійним. Проінтегрувавши його одним з описаних раніше способів і повернувшись від  до попередньої змінної  , можна отримати розв’язок рівняння Бернуллі. Зауважимо, що зручніше розв’язувати рівняння Бернуллі, не зводячи його до лінійного, за допомогою підстановки  , тобто так само, як і лінійне неоднорідне рівняння. Покажемо це на прикладі. Приклад . Розв’язати рівняння Бернуллі  .
Р о з в ’ я з о к. Будемо шукати невідому функцію  у вигляді. . Підстановка цієї функції у рівняння приводить до рівності  або  .
Функцію  знайдемо із співвідношення  , яке отримується, якщо вираз у дужках прирівняти до нуля:  . Відносно  отримується рівняння з відокремлюваними змінними  , загальний інтеграл якого буде таким:
 ,
де  довільна стала. Отже, відповідь  .
12.6. Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник Означення. Диференціальне рівняння вигляду  (12.25)
називається рівнянням у повних диференціалах, якщо   - неперервні диференційовані функції, для яких виконується співвідношення  , (12.26)
причому  та  - також неперервні функції. Покажемо, що коли ліва частина рівняння (12.25) є повним диференціалом деякої функції  , то виконується умова (12.26), і навпаки, з виконання умови (12.25) випливає, що ліва частина рівняння (12.25) – повний диференціал (вперше цю умову отримав член Петербурзької академії наук Л.Ейлер (1707-1783)). Справді, нехай зліва у рівнянні (12.25) стоїть повний диференціал, тобто  . Оскільки  ,
маємо 
Тоді частинні похідні та визначаються за формулами  .
Оскільки зліва в цих рівностях згідно з умовою записані неперервні функції, то це означає, що й праві частини, тобто  та  , також неперервні. Звідси випливає, що  , що й доводить рівність (12.26).
Припустимо тепер, що умова (12.26) виконується, і знайдемо функцію , завдяки якій диференціальне рівняння (12.25) можна подати у формі  (12.27)
Оскільки  , то інтегруючи, маємо  (12.28)
Назва: Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)
Дата публікації: 2005-03-03 (1942 прочитано) |
.gif){kind=spacer}
